中考数学专题压轴题(内含答案).docx

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1、中考数学专题压轴题(内含答案)中考数学专题压轴题1.已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．（1）求证：AC与⊙O相切；（2）当BD=6，sinC=时，求⊙O的半径．2.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠ACD=∠AOC，AD⊥CD于点D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=10，AD=2，求AC的长．解：（1）∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠AOC+∠OCA+∠OAC=180°，∴∠AOC+2∠OCA=180°，∴∠AOC+∠OCA=90°，∵∠AC

2、D=∠AOC，∴∠ACD+∠OCA=90°，即∠DCO=90°，证明：（1）连接OE，∵AB=BC且D是AC中点，∴BD⊥AC，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE=∠DBE，∵OB=OE∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠DBE，∴OE∥BD，∵BD⊥AC，∴OE⊥AC，∵OE为⊙O半径，∴AC与⊙O相切．（2）解：∵BD=6，sinC=，BD⊥AC，∴BC=10，∴AB=BC=10，设⊙O的半径为r，则AO=10﹣r，∵AB=BC，∴∠C=∠A，∴sinA=sinC=，∵AC与⊙O相切于点E，∴OE⊥AC，∴sinA===，∴r=，答：⊙O的半径是．又∵OC是半径，∴CD是⊙

3、O的切线；⋯（3分）（2）过点A作AE⊥OC，垂足为E，可得∠AEC=90°，由（1）得∠DCO=90°，∵AD⊥CD，∴∠D=90°，∴四边形DCEA是矩形，又AD=2，∴CE=AD=2，⋯（4分）∵AB是直径，且AB=10，∴OA=OC=5，∴OE=OC﹣CE=5﹣2=3，∴在Rt△AEO中，OA=5，OE=3，根据勾股定理得：AE==4，⋯（5分）∴在Rt△ACE中，CE=2，AE=4，根据勾股定理得：AC==2．⋯（6分）3.如图，点C是以AB为直径的⊙O上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若CD=1，AC=，求⊙O的

4、半径长．证明：（1）连接OC．∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO．∵CD切⊙O于C，∴OC⊥CD，又∵AD⊥CD，∴AD∥CO，∴∠DAC=∠ACO，∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠BAD；（2）解法一：如图2①，过点O作OE⊥AC于E．在Rt△ADC中，AD===3，1/12中考数学专题压轴题(内含答案)∵OE⊥AC，∴AE=AC=．5.已知：⊙O的直径为3，线段AC=4，直线AC和PM分别与⊙O相切于点A，M．∵∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=90°，∴△AEO∽△ADC，（1）求证：点P是线段AC的中点；（2）求sin∠PMC的值．∴，即，∴AO=，即⊙O的半

5、径为．解法二：如图2②，连接BC．在Rt△ADC中，AD===3．∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=∠DAC，∠ACB=∠ADC=90°，∴△ABC∽△ACD，∴，即，∴AB=，∴=，即⊙O的半径为．4.如图，⊙O的直径AB=10，C、D是圆上的两点，且．设过点D的切线ED交AC的延长线于点F．连接OC交AD于点G．（1）求证：DF⊥AF．（2）求OG的长．解：（1）连接OD，则OD⊥EF，∵，∴∠CAD=∠DAB=30°，∵AO=DO，∴∠OAD=∠ADO，∴∠FAD=∠ADO，∴AF∥DO，∴DF⊥AF．（2）在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=10

6、，∴BD=5，∵=，∴OG垂直平分AD，∴OG是△ABD的中位线，∴OG=BD=．证明：（1）连结OM，如图，∵直线AC和PM分别与⊙O相切于点A，M，∴PM=PA，OM⊥MP，BA⊥AC，∴∠OMP=90°，∠BAC=90°，∴∠1+∠2=90°，∠B+∠C=90°，而∠2=∠B，∴∠1=∠C，∴PC=PM，∴PA=PC，∴点P是线段AC的中点；（2）解：由（1）∠PMC=∠C，在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，∴BC==5，∴sin∠C==，即sin∠PMC=．6.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂

7、足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙0的切线．（2）如果⊙0的半径为5，sin∠ADE=，求BF的长．证明：（1）连接OD，如图，∵AB为⊙0的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴AD平分BC，即DB=DC，∵OA=OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴EF是⊙0的切线；2/12中考数学专题压轴题(内含答案)（2）解：∵∠DAC=∠DAB，∴∠ADE=∠ABD，（2）若⊙O的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积．在Rt