平行线分线段成比例定理及应用

《平行线分线段成比例定理及应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、2中等数学●数学活动课程讲座●平行线分线段成比例定理及应用沈文选(湖南师范大学数学奥林克研究所，410081)中图分类号：0123．1文献标识码：A文章编号：1005—6416(2010)05—0002-05(本讲适合初中)1利用题设条件中的平行线条件定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．反之亦真．例1四边形ABCD是梯形，是上底边上述定理中的对应线段是指一条直线被AD上一点，CE的延长线与的延长线交三条平行直线截得的线段与另一条直线被这于点F．过点E作的平行线交CD的延长三条平行直线截得的线段对应，对应线段成线于点M，BM与AD交于点Ⅳ_证明：比例是指同一直线上

2、两条线段的比(部分与／AFN=DME．部分之比或部分与整体之比)等于另一条直(2007，全国初中数学联赛)线上与它们对应的线段的比．证明如图定理中的两条直线可以是平行的，也可1．设MN与EF以是相交的．若是相交的，且当交点在三条平交于点P．行线中的一条上时，则有如下推论．注意到ME推论1平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．反之亦真．若称经过一点的若干直线为一直线束，则由推论1有如下推论．推论2一直线柬截两条平行线所得的对应线段成比例．此时，成比例的线段在平行的直线上，与推论1中成比例的线段在非平行的直线上要区别清楚．推论3若一直线束中的直

3、线PAB、PCD、PEF鹤点A、8、C、D、E、F满AC／BD。CE／BF，AE／BF．上述定理及推论在求解某些含有平行线条件(或隐含有平行线条件)的问题时是很方便的．收稿日期：2010—06—022010年第5期3证：OPF=OEP．例4在锐角△ABC中，AB>AC，CD、(1996，全国初中数学联赛)BE分别是边AB、AC上的高，DE与BC的延证明如图长线交于点，过点D作BC的垂线交BE于2，延长AD、BO交点F，过点E作BC的垂线交CD于点G．证于点．明：F、G、Tj点共线．P注意到(2005，全国初中数学联赛(B卷))OMfIKA．证明如图4，设CD与BE交于点Ⅳ，

4、联OE／／KA，A结AH并延则由推论2分别长交BC于有图2点K，延长FKD0MKDDF交BC于OM—。KA‘OEKA‘点，延长BMKNCT故OF=DOEEG交BC于网4点Ⅳ．则=OP：OE．OFDM／／AK／／EN．=：>△OFP∽AOPE由于平行线DM、AK截直线束BA、BH、jOPF=OEP．BK，平行线EN、AK截直线束CA、CH、CK，有例3如图3，在梯形ABCD中，对角线DFAHEG—AC与腰BC相等，是底边AB的中点，是DM丽腰AD延长线上的点，交BD于点求一EGEN‘证：=BCN．由平行线DM、EN截直线束TD、TM，有(1992，四川省初中数学竞赛决赛)nM

5、TnnFTn证明如图一DCENj历‘3，设LC交AB于联结TG、TF．点E，延长CN交由DF／／EG及式①得TG与重合．AB于点F，延长从而，F、G、Tj点共线．LN、DC交于点G．【注】由上述证法知，例4可推广为更一注意到AM／／般性问题：在△ABC中，BE与CD交于点，DGBMf，DG．图3过D、E分别作与AH平行的线交BE于点F、由推论2分别有交CD于点G．若直线DE与直线BC交于点A巴’C’C’T，则F、G、T三点共线；若DE／／BC，则FG／／AM—DG’BM—DG‘BC．AEBFI目例5如图5，在△ABC中，AB

6、则A￡=BFBC的中点，P又由题设AC=BC，有是边BC上的CAB=C．一点，且AP／／MPCIM，Q是边AP曰D从而，△ACEc,v△BCF．网5故ACL=BCN．上的一点．若4中等数学四边形IMPQ为平行四边形，求证：△MPQ为直(6一c)：y=IQ．角三角形．(2005，全国初中数学联赛(E卷))由此知四边形IDMQ为平行四边形．证明令BC：8，AC=b，AB=c，延长注意到IDM=90。，则QM上Jp．分别交AB、AC于点Ⅳ、，联结BL故AMPQ为直角三角形．由平分知IN=BN．2发掘题设条件中隐含的平行线条件同理，IK：KC．设△ABC的内切圆o，分别切BC、CA

7、、例6如图6，在四边形ABCD中，E、FAB于点D、E、，联结，D．则上BC．记BD分别是边AB、CD的中点，P为对角线AC延=BF=，MP=IQ=y．则长线上任意一点，P尸F交AD于点，：÷(。+。一6)，Pc：。一y，PE交BC于点～，QK=KI—QI：KC—Y．EF交MN于K．E求证：是线段MN删：÷。一：{一(6一)．的中点．图6由NK／／BC，有(2008，全国初中数学联赛(江西卷))ANAK—一～一证明在FP上取点G，使FG：MF，联ABAC—AP—BP—PC结GC、GN．取AC中点，联结FL、LE．则