复变函数与积分变换答案.doc

复变函数与积分变换答案.doc

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1、.习题二1.求映射下圆周的像.解:设则因为,所以所以,所以即,表示椭圆.2.在映射下,下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形,设或.(1);(2);(3)x=a,y=b.(a,b为实数)解:设所以(1)记,则映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段,即(2)记,则映成了w平面上扇形域,即..(3)记,则将直线x=a映成了即是以原点为焦点,张口向左的抛物线将y=b映成了即是以原点为焦点,张口向右抛物线如图所示.3.求下列极限.(1);解:令,则.于是.(2);解:设z=x+yi,则有显然当取不同的值时f(z)的极限不同所以极限不存在.(3)

2、;解:=...(4).解:因为所以.4.讨论下列函数的连续性:(1)解:因为,若令y=kx,则,因为当k取不同值时,f(z)的取值不同,所以f(z)在z=0处极限不存在.从而f(z)在z=0处不连续,除z=0外连续.(2)解:因为,所以所以f(z)在整个z平面连续.5.下列函数在何处求导?并求其导数.(1)(n为正整数);解:因为n为正整数,所以f(z)在整个z平面上可导..(2).解:因为f(z)为有理函数,所以f(z)在处不可导.从而f(z)除外可导...(3).解:f(z)除外处处可导,且.(4).解:因为.所以f(z)除z=0外处

3、处可导,且.6.试判断下列函数的可导性与解析性.(1);解:在全平面上可微.所以要使得,,只有当z=0时,从而f(z)在z=0处可导,在全平面上不解析.(2).解:在全平面上可微.只有当z=0时,即(0,0)处有,.所以f(z)在z=0处可导,在全平面上不解析.(3);解:在全平面上可微.所以只有当时,才满足C-R方程...从而f(z)在处可导,在全平面不解析.(4).解:设,则所以只有当z=0时才满足C-R方程.从而f(z)在z=0处可导,处处不解析.7.证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数.(1);证明:因为,所以,.所以u

4、,v为常数,于是f(z)为常数.(2)解析.证明:设在D内解析,则而f(z)为解析函数,所以所以即从而v为常数,u为常数,即f(z)为常数.(3)Ref(z)=常数.证明:因为Ref(z)为常数,即u=C1,因为f(z)解析,C-R条件成立。故即u=C2从而f(z)为常数.(4)Imf(z)=常数...证明:与(3)类似,由v=C1得因为f(z)解析,由C-R方程得,即u=C2所以f(z)为常数.5.

5、f(z)

6、=常数.证明:因为

7、f(z)

8、=C,对C进行讨论.若C=0,则u=0,v=0,f(z)=0为常数.若C0,则f(z)0,但,即u

9、2+v2=C2则两边对x,y分别求偏导数,有利用C-R条件,由于f(z)在D内解析,有所以所以即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数.(6)argf(z)=常数.证明:argf(z)=常数,即,于是得C-R条件→解得,即u,v为常数,于是f(z)为常数.8.设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析,求m,n,l的值.解:因为f(z)解析,从而满足C-R条件...所以.9.试证下列函数在z平面上解析,并求其导数.(1)f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i证明:u(x,y)=x3-3xy2,v(x,y)=3x

10、2y-y3在全平面可微,且所以f(z)在全平面上满足C-R方程,处处可导,处处解析..(2).证明:处处可微,且所以,所以f(z)处处可导,处处解析.10.设求证:(1)f(z)在z=0处连续.(2)f(z)在z=0处满足柯西—黎曼方程.(3)f′(0)不存在.证明.(1)∵而..∵∴∴同理∴∴f(z)在z=0处连续.(2)考察极限当z沿虚轴趋向于零时,z=iy,有.当z沿实轴趋向于零时,z=x,有它们分别为∴∴满足C-R条件.(3)当z沿y=x趋向于零时,有∴不存在.即f(z)在z=0处不可导.11.设区域D位于上半平面,D1是D关于x

11、轴的对称区域,若f(z)在区域D内解析,求证在区域D1内解析.证明:设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),因为f(z)在区域D内解析.所以u(x,y),v(x,y)在D内可微且满足C-R方程,即.,得..  故φ(x,y),ψ(x,y)在D1内可微且满足C-R条件从而在D1内解析13.计算下列各值(1)e2+i=e2∙ei=e2∙(cos1+isin1)(2)(3)(4)14.设z沿通过原点的放射线趋于∞点,试讨论f(z)=z+ez的极限.解:令z=reiθ,对于θ,z→∞时,r→∞.故.所以.15.计算下列各值.(1)(2)(3)l

12、n(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i..(4)16.试讨论函数f(z)=

13、z

14、+lnz的连续性与可导性.解:显然g(z)=

15、z

16、在复平面上连续,lnz除负实轴及原点外处处连续.

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