现代信号处理培训教材胡广书(清华).doc

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1、及（1.7.8）此即信号正交分解的最小平方近似性质。我们在有限项傅立叶级数的近似中曾经遇到过[19]。现推导（1.7.7）及（1.7.8）两式。将（1.7.6）式展开，有（1.7.9）将上式对求偏导，并使之为零，则有及将此结果代入（1.7.9）式，即得（1.7.8）式。若空间由向量张成，即，并有及，我们称和是的子空间。如果：1．，即和没有交集；2．，即是和的并集；这时，我们称是和的直和，记作：（1.7.10）这些概念我们将在小波变换中用到。性质5：将原始信号经正交变换后得到一组离散系数。这一组系数具有减少中各分量的相关性及将的能量集中于少数

2、系数上的功能。相关性去除的程度及能量集中的程度取决于所选择的基函数的性质。这一性质是信号与图像压缩编码的理论基础。有关这一点，我们在本节还要继续讨论。作为正交变换的最后一个性质，由于其重要性，我们现用定理的方式给出：定理1.2：是一个原型函数，其傅立叶变换为，若，是一组正交基，则47/15（1.7.11）若，是两组正交基，即则（1.7.12）证明[13,21,8]：因为是一正交基，设是它构成空间中的一个元素，则可表示为的线性组合，即（1.7.13）由性质3，有，对（1.7.13）式两边作傅立叶变换，有（1.7.14）注意，该式是傅立叶变换（

3、FT）和离散时间傅立叶变换（DTFT）的混合表达式。设想，是一连续函数的抽样，抽样间隔为，则（1.7.14）式右边的第二部分应是：（1.7.15）这种FT和DTFT混合表达的形式以后还会遇到，暂时我们将记做，是周期的，周期为，这样（1.7.14）式变成：由Parseval’s定理，有由于比较上面的结果，因此必有47/15（1.7.12）式留给读者自己证明。读者也许已经了解了很多的正交变换。在此，我们再举例说明之.1.傅立叶级数对一个连续的周期信号，对应（1.6.5）式的展开是式中，是的周期。显然，，，利用（1.6.9a）式，此处，差一共轭关

4、系，我们从正交变换的角度认为它们是一样的。2设是N点离散序列，即，其离散傅立叶变换，即DFT的基函数，其离散余弦变换（Ⅱ型），即DCT-Ⅱ的基函数[19]，式中，其离散正弦变换的基函数，即DST-Ⅰ的基函数[19],此外还有离散Hartley变换，以及本书后面要讨论的一类正交小波变换等。由以上讨论可知，在一N维空间中，如同有无数组N个线性无关的向量一样，我们也可以找到无穷多个正交基。那么，如何选择一个“好”的正交基呢？也就是说，如何去衡量一个正交基的质量呢？正交基的选择一般要考虑如下几个因素：1．具有所希望的物理意义或实用意义。如，这些有关

5、傅立叶变换的基，其物理意义就非常明确。有些正交基，其物理解释不甚明确，但有着较强的实用价值，如DCT，DST等；47/151．正交基函数应尽量简单，从而尽量减少在正、反变换时的计算量；2．为了研究信号在局部频率以及在局部时间处的性质，我们希望所选择的基函数应能同时具有频域和时域的定位功能。前已述及，傅立叶变换的基函数在频域为函数，而时域的支撑区间是，无法满足此要求。（1.1.8）式的是短时傅立叶变换的基函数。它具有时域和频域的定位功能。我们后面要重点讨论的正交小波，即是朝这一目标努力所得出的可喜成果。4．具有好的去相关和能量集中的性能。现在

6、，我们给出两个实际的指标来衡量某一基函数在去除相关及能量集中方面的性能。设是一实的宽平稳过程，设其均值为零，其自相关矩阵（1.7.16）这是我们所熟悉的Toeplitz矩阵。其元素反映了中第个元素和第个元素之间的相关性。若的各元素全不相关，则为对角阵。令（1.7.17）是一正交变换，变换后的，其自相关矩阵（1.7.18）该矩阵体现了变换后数据相互之间的相关性，令，（1.7.19）显然，，分别是，去掉对角线后所有元素的绝对值和，越小，说明越接近对角阵，即相应的变换去除相关性越好。再令（1.7.20）我们称为去除相关的“效率”，文献[19]中指

7、出，当47/15为一阶马尔可夫过程，且该过程相邻两点的相关系数时，DCT的，DFT的，DST的，可见DCT在去除相关性方面具有很好的性能。再令，（1.7.21）显然，当M很小时，若能取得很大的值，则说明的对角线上开始的几个值较大，也即能量集中。所以反映了变换后能量集中的程度。在时，DCT的，DFT的，DST的。1.8标架的基本概念我们在1.6节讨论了信号分解及变换的基本概念，在1.7节又重点讨论了正交分解、正交基的性质以及正交基选择的原则。本节把正交基的概念推广到更一般的情况，即“标架（frame）”。首先我们给出两个基本定义，然后再对定义

8、作一些必要的解释。定义1.8.1：设是Hilbert空间H中的一组向量，对任一信号，如果存在常数，，并使下式成立：（1.8.1）则称构成一个标架。显然，标架是Hilbert空间中