现代信号处理教程 - 胡广书(清华)06553

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1、（4.4.2）式中由（4.3.7）式定义。由（4.3.8）和（4.3.9）及上式结果，有　令，，则上式变成　　　　　　　　（4.4.3）于是结论得证。式中是乘上窗函数后的傅立叶变换。该式说明，如果是某一函数的模糊函数，那么用此所得到的等效于谱图。因此，谱图也是Cohen类成员。　　2．，实值性，即，　　　　：　　　　　证明：由（4.1.1）式，　　　令　，，则上式变为　　显然，如要求，必有　　3、时移：　　　：　若　　，则123　　　：　不决定于　　　证明：因为处于域，和无关，所以它不影响分布的

2、时移性质；　　4、频移：　　　　　　：　若，则　　　　　　：与无关　　　性质与称为Cohen类时－频分布的“移不变”性质，它包含了时移和频移。　　5、时间边缘条件，即　　　　：　　　　：　　　证明：　将（4.1.1）式两边对积分，有　　欲使上式的积分等于，必有欲使该式成立，必有，也就是说，为保证具有WVD的边界性质，在轴上始终为1。　　6、频率边缘条件，即　　　：　　　　　　：　　　其证明请读者自己完成。123　　前已述及，为了有限的抑制AF中远离的互项，希望应为平面上的低通函数。但和要求在和轴

3、上应为１。这样，如果AF中的互项正好落在轴或轴上，将得不到抑制。　　7、瞬时频率与的关系，即　　　：　　　　　：　　及　　8、群延迟与的关系，即　　　：　　　　　：　　及我们已在3.2节证明了WVD和瞬时频率与群延迟的关系，此处的证明从略。有关瞬时频率定义的解释及瞬时频率的估计可参看文献[27,28]。这是两篇详细讨论瞬时频率的论文。　　9、时域支撑范围，即　　　：　若　时，，希望，对　　　：　　　　　10、频域支撑范围，即　　　：　若　时，，希望　　　：　现对和作一简单的解释。　　给定一个信号

4、，记其时－频分布为。假定在和123的范围内为零，若在和的范围内也为零，则称具有弱有限时间支撑性质。同理，假定在之外为零，若在也为零，则称具有弱有限频率支撑性质。和指的是弱有限支撑。　　若信号分段为零，在为零的区间内也为零，则称具有强有限时间支撑性质。强有限支撑的含义是：只要为零，在所对应的时间段内恒为零。同理可定义强有限频率支撑。　　由（4.3.7）式，的要求是：　　　　，　对　。式中是时间域的核函数。当该核函数在平面上在这一范围内为零时，即具有弱有限时间支撑性质。有关的由来见下一节的讨论。　　

5、　10、：减少交叉项干扰　　　　　：是平面上的2－D低通函数。　　减少交叉项干扰分布（Reduced　Interference　Distribution，RID）又称RID分布。其核函数有着其它的特殊性质，我们将在下一节进一步讨论。4.5核函数对时－频分布中交叉项的抑制　　我们在1.5节已给出了单分量信号和多分量信号的概念。其区别是在任意固定的时刻，该信号的瞬时频率是单值的还是多值的。一个多分量信号又可表为单分量的和，即：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.5.1）式

6、中都是单分量信号，因此123（4.5.2）相应的时－频分布　　　　　　　　　　　　　　（4.5.3）同样也由自项和互项所组成。互项即是交叉项，它是对真正时－频分布的干扰，应设法将其去除或尽量减轻。减轻中交叉项的一个有效途径是通过的模糊函数来实现。由4.2节的讨论，的广义模糊函数：　　　　　　　　　　　　　（4.5.4）式中　　　　　　　　　　（4.5.5）　　　　　　　　（4.5.6）分别是AF的自项和互项。我们在本章第二节的讨论中已指出，模糊函数的自项通过平面的原点，互项远离平面的原点，而AF

7、中的互项又对应了时－频分布中的交叉项，这就为我们去除或抑制时－频分布中的交叉项提供了一个有效的途径。即令核函数取平面上的2-D低通函数。　　由上节的讨论可知，为保证具有时间及频率边缘条件性质，核函数应满足和，即在和轴上应恒为1，这也是设计核函数时必须考虑的要求。当然，除了难于满足外，应尽量满足。　　现举例说明核函数对交叉项的效果。　　Choi－Willarms于文献[37]提出了一个指数核，即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.5.7）123其相应的T－F分布称为指数分

8、布（ED），由表4.3.1，它属于Cohen类。显然，，，且当和同时不为零时。式中为常数。越大，自项的分辨率越高，越小，对交叉项的抑制越大。因此，的取值应在自项分辨率和交叉项的抑制之间取折中，并视信号的特点而定。若信号的幅度和频率变化得快，那应取较大的，反之取较小的。的取值推荐在0.1～10之间。当时，，ED变成WVD，在这种情况下ED（即WVD）具有最好的分辨率，但交叉项也变得很大。ED可以有效地抑制交叉项，但不能保证性质和。　　ED对应的时域的核为［13］　　　　　　　　　　　（4.5.8）