现代信号处理教程 - 胡广书(清华)

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1、第4章　Cohen类时－频分布4.1前言　　除了Wigner分布和谱图以外，近几十年来人们还提出了很多其它具有双线性行式的时－频分布。1966年，Cohen给出了时－频分布的更一般表示形式［44］：　　　（4.1.1）该式中共有五个变量，即，，，和，它们的含义我们将在下一节解释。式中称为时－频分布的核函数，也可以理解为是加在原Wigner分布上的窗函数。给出不同的，就可以得到不同类型的时－频分布。通过后面的讨论可知，目前已提出的绝大部分具有双线性形式的时－频分布都可以看作是Cohen类的成员。通过对Cohen类分布的讨论有助于我们

2、更全面地理解时－频分布，深入地了解它们的性质，并提出改进诸如交叉项这些不足之处的方法。在Cohen类时－频分布的讨论及抑制交叉项的方法中，在雷达信号处理中广泛应用的模糊函数（AmbiguityFunction,AF）起着重要的作用。因此，本章首先给出模糊函数的定义及其与Wigner分布的关系，然后讨论Cohen类分布及其不同的成员。在4.4节讨论为确保Cohen类分布具有一系列好的性质而对所提出的要求。最后，在4.5节讨论核的设计问题。文献[47]对非平稳信号的联合时－频分布给出了较为详细且是较为权威性的论述。4.2Wigner分

3、布与模糊函数　　令为一复信号，我们在第三章已定义　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.2.1）为的瞬时自相关函数，并定义相对的傅立叶变换　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.2.2）为的WVD。除去特别说明，该式及以下各式中的积分均是从。110　　的对称模糊函数定义为相对变量的傅立叶逆变换［17，46,47］，即：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.2.3）对比（4.2.2）和（4.2.3）两式可以看到，和之间似应有某种联系，起码在形式上有一种对称联系。由（4.2.3）式，有　　　　　　　　　

4、　　　　　　　　　　　　　　（4.2.4）对该式两边取相对变量的傅立叶变换，立即可得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.2.5）该式说明，信号的WVD是其AF的二维傅立叶变换。WVD和AF是信号的两个不同的表示形式，其关系即是（4.2.5）式。有关WVD的含义我们已在第三章作了详细讨论。现对模糊函数的含义在此稍作解释。　　令为一复信号，定义，分别是作正、负移位和正、负频率调制所得到的新信号，即：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.2.6a）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.2.6

5、b）式中为时移，为频移，显然　　　　　　　　　　　　　　　　（4.2.7）即模糊函数可理解为信号在作时移和频率调制后的内积。　　我们知道，当将信号发射出去并由一固定目标作无失真反射回来时，反射信号应是。通过估计时间可知道从信号发射点到目标的距离。若目标是移动的，由多普勒效应，还将产生频移，即接受到的信号应是。因此，模糊函数在雷达理论中具有重要的作用。　　读者可自行证明，模糊函数具有如下性质：　　１．若，则　　　　　　　　　（4.2.8）110　2.若，则　　　　　　　　（4.2.9）　　３．的最大值始终在平面的原点，且该最大值即是

6、信号的能量，即：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.2.10）如果我们再定义　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.2.11）为的“瞬时”谱自相关，式中为的FT，则：　　　　　（4.2.12）（4.2.13）且　　　　　　　　　　　　　　（4.2.14）以上各式给出了同一信号的WVD和AF的不同表示形式及内在联系，但WVD和AF有着如下本质的区别：１.不论是实信号还是复信号，其WVD始终是实信号，但其模糊函数一般为复函数。两个信号，的互WVD满足　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.2.15a）而其互

7、AF不存在上述关系，即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.2.15b）　　２．WVD和AF分别处在不同的“域”：　　在（4.1.1）及（4.2.1）～（4.2.15）各式中，我们遇到了五个变量，即，，，和。显然，是时间，是频率，由（4.2.6）式，应是时移，应是频移，是积分变量。前四个变量的不同组合形成了不同的“域”，即：　　　　　　　：时－频域，对应　　　　　　　：瞬时自相关域，对应110　　　　　　　：“瞬时”谱自相关域，对应　　　　　　　：模糊函数域，对应由此可以看出，我们之所以称为“模糊函数”，是因为和分别

8、对应了频域的“频移”和时域的“时移”。这几个二维函数的关系如图4.2.1所示。图中表示对变量作FT，表示相对作傅立叶反变换，其它含符号类似。　　至此，读者不难发现，（4.1.1）式中的窗函数也在处在模糊域。我们使用它的目的是为了抑制WVD中的交叉项