利用伸压变换矩阵解椭圆问题

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1、2009年第48卷第6期数学通报57利用伸压变换矩阵解椭圆问题韦莉(江苏省沐阳县建陵中学高中部223600)随着新课程的推进，《矩阵与变换》作为一个)变为Pm，n)专题已经进入中学课堂，伸压变换矩阵作为一类重要的变换矩阵与函数的伸缩变换有着本质的联又P，)一P(，系．将伸压变换矩阵应用到解题中，不但可以拓宽nyl4-2,ny2、解题思路，而且可以简化解题过程．本文就谈谈利——14-／用伸压变换矩阵解椭圆问题。故P是所成比为的定比分点．1基本性质在直角坐标系下，设伸压变换矩阵M一()，(>0，>o)，点P(z，)经过M变换后为Pc，，即(＼zy，)，一(＼m

2、o一)／(＼v)，，贝u有如下性质．性质1直线经过M变换后仍为直线．若原直线斜率为足，则变换后直线斜率为是·证明设直线Z：A+B．y+C=0(A+B≠O)P(z，)为z上的点．P经过M变换后为P(．z，Y)sl从而’m+B鲁+c一。(＼(＼m)，+(＼导1I≠o1／1原直线斜率是一一百1"1．=llll：ms△加c变换后直线斜率是：=：一舍一暑是．特别的，平行直线经过M变换后仍为平行直线．性质2经过M变换后，点分有向线段的比不变．经过M变换为C、C也在A处相切，且A是A证明设P1(Lz，Y)、P2(z，2)，P点分有向线段的比为，则P(，)f0]经过伸压变

3、换矩阵M作用后，P、Pz分别变利用伸压变换矩阵M—l丢j将椭圆为P(rex，)与P。(，(，58数学通报2009年第48卷第6期x2y2T—1(＆>6>0)问题转化为单位圆z+2—1的问题处理，有时可以起到事半功倍的效果．O1—2举例说明如下．、●●●1_r●●●●J_●●●JJ，，fI-、、例1设点A("~09Yo)是椭圆c：x2yZz、-●J／T一1f01又{，1解设伸压变换矩阵为M—IJ则y~例3过点P(2，1)作椭圆xz_)一㈨T一1的弦A(z。，。)经过变换后为A(詈，警)，解设伸压变换矩阵为M—从而C过A的切线方程为三+一1，f墨]则口Df．，

4、一三又．{，；(一，所以椭圆C的过点A的切线方程为兰+一1．口A例2过点P(8，4)作椭圆十等一1的两条／一。l0／B．．解设伸压变换矩阵为M===fj则圈Z，点P(2，1)经过M变换后为点P(丢，)过6作ON(，)一(_LAB设Ioml一口则IAB}一2PIPNf一1由IOPI一fONI。+IPNIz得专+告(1)一从而n一．设AB所在直线的斜率为k图1则AB方程为志(z一1)=一丢则椭圆x'~yZ]-一1经过M变换后为c：z，。+即五z—+1一k：02009年第48卷第6期数学通报59(，)==：)一椭圆在M作用下变为圆C：z-by一1椭圆的内接三角形

5、AABC经过M变为△ABC．根据性质3得s△一s△加c若AABC为椭圆面积最大的内接三角形，那I1kl么△ABC是圆的面积最大的内接三角形，圆的所以一面积最大的内接三角形为正三角形，所以△ABC是圆z4-y一1的内接正三角形，它解得志=09N~,,N，)ANAABC面积最大值为。6．A'B方程为z，一，一+丢：。fo1特别地，利用伸压变换矩阵M—l“吉，Jl，容l÷2Y—．．易得到椭圆c：+告一1(n>6>o)的面积s=嗽6．上面几个例子以椭圆与圆为依托，以伸压变-4+,／77-t-,／7———-y-—丁—一：一0u换矩阵为工具，从圆和伸压变换矩阵变换的性

6、质出发，实现圆与椭圆间的相互变换，简捷地解决了-4-,／-f——-y．丁一0u．·椭圆的某些问题．将《矩阵与变换》有关知识灵活应用到函数、圆锥曲线等问题上，体现了新课标加例4设椭圆c：xzyZT一1(口>6>0)，AABC强数学知识的联系，灵活应用数学知识的理念．口。D为椭圆的内接三角形．~"AABC面积最大值．参考文献1科克肖特(著)，蒋声(译)．圆锥曲线的几何性质[M]．上海：上解设伸压变换矩阵为M一海教育出版社，2002[言≥]则2普通高中课程标准实验教科书．矩阵与变换(选修4—2)．南京：江苏教育出版社，2005(上接第56页)所以当：业时7，z1

7、Im2I⋯T7，Imk十】则+()一(x)+1+(—+)。^+()有最小值。=AArl(m1+2+⋯+)·由(1)(2)知结论2成立．两个数学结论的应用：(I一—■等一)／+1_1m”结论1可以用来解释在一个由个物体组成(X-．1，^+1)。一A4-的系统中，若参照系不变，则当个物体彼此都相c研+m+⋯++。(与一+)对静止时，个物体的总动能最小．+结论2说明在一个由个物体组成的系统2(ml+优2+⋯+优^+研+1)中，若”个物体彼此的相对速度保持不变，则以系丢(m+m+⋯+m+m+)·统的质心作为参照系时，系统总动能最小．，I一m—1■'’l十m21，2

8、十⋯十女'，^-bmk-+lVk+l、／