附带有考虑集中质量的转动惯性的梁固有振动分析

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1、万方数据第29卷第11期振动与冲击JOURNALOFⅥBRATIONANDSHOCK附带有考虑集中质量的转动惯性的梁固有振动分析王栋(西北工业大学航空学院，西安710072)摘要：研究梁附带集中质量时系统的横向弯曲自由振动，分析过程中同时考虑集中质量的平(移)动和转动惯性。探讨了梁的固有频率相对集中质量位置的一阶导数计算问题，并得到了正确的灵敏度计算公式。数值计算结果表明：集中质量的转动惯性对梁的频率、振型以及灵敏度都有很大的影响。当集中质量的转动惯性较大时，忽略其影响对梁的振动分析可能带来很大的误差。关键词：梁一质量系统；集中质量位置；频率灵敏度；转动惯性；优化设计中图分类号：0326

2、文献标识码：A实际工程中，经常会遇到板或梁结构附带一个或几个集中质量的振动问题。这是振动理论分析中一个非常典型的模型，由于在航空、宇航、机械、建筑等领域具有广泛的应用前景，多年来一直受到人们的重视。有关梁(Euler—Bernoulli梁)附带集中质量的横向自由振动分析，国内外已有不少文献或教科书做过详细研究和推导【1。J。为了突出主要问题，降低研究难度，分析过程中通常都忽略了集中质量转动惯性的作用，而只考虑集中质量平(移)动惯性对结构横向振动的影响[1“J。这样简化处理虽然能够快速获得梁结构振动特性的解，然而当集中质量的转动惯性较大时，计算结果与实际情况会相差很大，而且所得到的频率和振

3、型随着阶次的增高其准确性也将显著下降”1。本文研究梁附带集中质量时系统的横向自由振动和灵敏度分析计算问题。已有研究发现，集中质量转动惯性对振动特性的影响效果有时比平动惯性影响效果大"J。因此，为了克服现有模型存在的不足，本文分析中将同时考虑集中质量的平动惯性和转动惯性，以便能够精确获得结构的动态特性或响应，同时揭示转动惯性对梁的固有频率和振型函数的影响。另外，在结构优化设计、参数识别和模型修改过程中，一个具有非常重要意义的计算需求是梁的固有频率相对于集中质量位置的灵敏度(一阶导数)信息，即集中质量位置改变对梁的动态特性的影响程度。根据灵敏度值，可以指导附带集中质量位置的优化设计，并采用移

4、动集中质量的方法对梁的振动进行控制【6J。因此相关研究引起人们的普遍重视，是目前一个引人关注的领域【卜9

5、。本文将着重探讨梁的固有频率相对集中质量位置的灵敏度计算公式，并将用数值方法验证分析结果的正确性。基金项目：航空基金资助项目(2007ZA53002)收稿日期：2009—09—23修改稿收到日期：2010-07—30作者王栋男，副教授．1962年生1振动方程的建立如图1所示，假设一匀质等截面悬臂梁附带一个集中质量块，M是其质量(也称乎(移)动惯量)，Jr是其绕梁截面形心的转动惯量。￡为梁的长度，m是梁单位长度的质量，E，表示梁的截面抗弯刚度(E为材料的弹性模量，歹为截面惯性矩)。本文

6、中m和目都是常数，b表示集中质量沿梁轴线(戈轴)的相对坐标。若不考虑阻尼的影响，则梁横向自由振动微分方程为：图1均质等截面悬臂梁附带一个集中质量Fig．1Auniformbeamwithaconcentratedmflg$,埘””(髫)一A4埘(z)=0(0s石

7、inhA(戈一1)+sinA(戈一1)]+C4[coshA(髫一1)+cosA(髫一1)](b≤菇s1)(2b)上式中的未知常数ci(i=1—4)以及A可由集中质量附加处，梁的变形连续和力平衡性条件确定。由位移和转角的连续性可得：∞，(b一)=鲫：(b+)=伽(b)(3a)训’。(b一)=埘’2(b+)=W7(b)(3b)万方数据振动与冲击2010年第29卷由力矩和力的平衡条件可得：≯E1n。(6一)一‘，，(D2加t。(6一)：-譬Wtt2(6+)(3c)铷，，，．(6一)+‰z埘．(6一)：E，，1wm：(6+)(3d)由以上方程可见：在集中质量附加处，虽然梁的横向位移和转角(一阶导

8、数)仍然保持连续性。但如果考虑集中质量的惯性，梁位移的二阶(弯矩)和三阶导数(剪sinhAb—sinAbcoshAb—cos,tbsinh^6“nA6一等(cosh肌cosab)coshAb+cosAb+aA(sinhAb—sinAb)力)连续性已不复存在。将式(1)代人方程(3)，可得关于C，(i=1—4)的线性齐次代数方程组。由其系数行列式为零，可得梁的频率特征方程。为了表达清楚起见，以下引入关于集中质量的两个相对惯性量：^一，