数学解题教学中师生互动的案例分析

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1、万方数据·10·中学数学研究2014年第6期数学解题教学中师生互动的案例分析+江苏省淮北中学(223900)程坚一、问题的提出著名数学家、数学教育家波利亚的教学理念是：“中学数学的首要任务就是加强解题训练，掌握数学就是意味着善子解题；数学课堂应该围绕着问题解决来组织，数学教师应该创造一种使问题解决得以蓬勃发展的课堂环境”．我们自然要问，在解题教学中，怎样提高课堂效率呢?我们知道，当你找到第一个蘑菇后(或作出第一个发现后)，一定要环顾四周，因为它总是成堆生长的．这就是人们常说的“采蘑菇”现象．而通过师生互动促

2、进解题教学中的解题反思，它是提高课堂解题教学效率的关键．下面通过具体的案例来说明高三解题教学中师生互动与解题反思的做法．不当之处，还请批评指正．二、二个师生互动的案例案例1如图1，00的半径为l，／_AOB=606，点C在劣—--+·--■■—-—÷弧AB上，DC=mOA+nOB。则m+n的最大值是．笔者设计这个问题，主要是基于以下几个方面的考虑：其一，唤起学生对解决向量问题的常用方法的回顾；其二，让图l学生学会将数和形灵活转化，培养学生数形结合的意识；其三，培养学生解题反思的意识和能力，优化学生的思维品质

3、．这里主要是直觉思维能力；其四，在解题教学中培养学生的“采蘑菇”意识，提升学生的数学素养，让学生学会解题，学会学习．学生阅读后开始思考，经过交流、讨论，学生给出了下面的解法，学生1：以0为圆心，直线OA为霉轴建立直角坐标系，则A(1，o)，曰({，霉)．设／_AOC=p(p∈、二二，fo，q仃-11，则c(cosO，sin伊)．由O—C=m蔬+n葫易得m⋯舢争砌胪筝砌舯⋯cos口+字sinp=学cos0一詈)⋯椭最大值是学解题反思：(在教师的启发下，以学生为主，师生互动完成．下同)通过建立坐标系，用坐标表示

4、点(向量)，引入0变量，把向量等式转化为数量等式，把二元函数转化为一元函数，通过求函数的最值得到问题的解答．它将向量问题代数化，这是解决向量问题的一种重要的方法．学生2：将OC=mOA+nOB两边平方得oc2=m2葫2+2m危葫．历+n2瓦驴。从而，712+mn+尼2=1，即(m+n)2一mn=1．又m，l≤f旦．#1，故(，7l川2一l≤、m24-lqJ'玑2+n的最大值是筝——4——÷——●解题反恩：将OC=mOA+nOB两边平方，实际是通过向量的数量积，证明了余弦定理．利用余弦定理，把向量等式转化为数

5、量等式，再通过基本不等式得到目标不等式，然后解不等式即可．因此，我们有下面的解法：解：如图2，由平面向量分解的唯一性得lOEI=IrtiOAI=m。lOFI=InOBl=n，在AOCE中，／_OEC=1200，由余弦定理得OC2=OE2+EC2—20E·EC·cosl20。，即m2+mr／,+n2=1．下略．图2启发提问：何时取得最值?学生l通过建立坐标系求解，有没有其它的建立坐标系的方法?学生2通过数量积转化，能否在等式两边点乘一个其它向量，使问题变得更简单?(从解题结果出发，反思解题过程与方法的优化，是

6、解题反思的一种重要方法．从这个解题结果出发，能够培养学生利用形的对称解决问题的能力，提升学生的直觉思维能力)．过了一会儿．·本文是江苏省教学研究第九期(2011年度)重点课题《高中数学课堂师生互动的行为分析与诊断研究》的阶段性成果．课题编号是JK9一Z069．万方数据2014年第6期中学数学研究学生3：以0为圆心，／_AOB的平分线为石轴建立直角坐标系，则A(譬，一号)，君(譬，÷)．设／xOC=p(pE【一詈，詈】)，则c(cosO'Sinp)．由一：一OA+一得m+7I：华c。s00CmOAnOB，故m

7、+n的=+得m+7I=≈#cos。故+的1匠最大值是气}解题反思：1是否建立坐标系是方法层面的问题(宏观的)，通过建立坐标景，把形的问题转化为数的问题，它就是常见而重要的坐标法；而怎样建立坐标系是技术层面的问题(微观的)，我们必须细心积累经验，建立恰当的坐标系．这里利用对称性建立坐标系，简化了运算，优化了解题过程．2要注意对称的运用和直觉思维能力的培养，比较学生1和学生3的解题过程可知，其本质是利用轴对称和旋转变换，将坐标系逆时针旋转_．71"在启发提问和前面讨论的基础上，有学生给出了下面的解法．学生4：设

8、／_AOB的平分线和单位圆相交于点D。且／__DOC=9(毋∈[o，别)，在等式蔬=m葫+n—OB两边点乘O—D，得m+n：刍盆c。s日，故m+，l的最大值是冬譬解题反思：在向量等式的两边点乘OD，因为oA_J_厅·DD=oB·DD=等，右边直接产生m+凡．这里利用了对称性，简化了运算。有利于培养学生感受美、创造美的意识．它对学生的数学意识和应试能力的培养都起着重要的作用．教师启发引导：如图3，设·-·÷-—-—