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1、Z重点解析理综HONGDIANJIEXI向量在立体几何中的应用⊙吴家山中学刘忠君立几问题虽“变化多端”，但最终落脚点一般是证平行、垂直、求角或探索性问题等，而解决问题的方法常集中在通性通法上，因而对立几的学习要以几何体中的线面关系为中心，重点抓住线面关系的定性分析和定量计算两个方面，围绕几何体的结构特征、线面关系的证明以及空间向量的应用三条主线展开.一、空间向量及应用∴k=2或k=-5，即ka+b与ka-2b互相垂直2例1已知A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4)，设时，实数k的值为2或-5．a=
2、AB，b=AC，2（1）若
3、c
4、=3，且c∥BC，求c；点拨此例涉及向量的平行、垂直、夹角等基础（2）求向量a与b的夹角的余弦值；问题，可直接用相关的法则和公式求解．（3）若ka+b与ka-2b互相垂直，求实数k的值．解析（1）∵c∥BC，二、空间线、面的位置关系的判定与证明∴c=mBC=m(-2,-1,2)=(-2m,-m,2m).例2如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝∴
5、c
6、=(-2m)2+(-m)2+(2m)2=3
7、m
8、=3，AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．求证：（1）BD1∥平
9、面PAC；∴m=±1.（2）PB1⊥平面PAC；∴c=(-2,-1,2)或(2,1,-2).（3）平面PAC⊥平面BDD1．（2）∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2),证明建立如图所示坐标系，则D（0，0，0），A（1，∴a譯b=(1,1,0)譯(-1,0,-2)=-1.0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A（11，0，2），B（11，1，2），C1又
10、a
11、=1222+1+0=2,（0，1，2），D（10，0，2），P（0，0，1）.222
12、b
13、=(-1)+0+2=5，yD1C1a譯b-110∴cos=
14、==-，即a与b的夹
15、a
16、
17、b
18、1010A1BP110角的余弦值为-.10（3）∵ka+b=(k-1,k,2)，ka-2b=(k+2,k,-4)，DCx2∴(k-1,k,2)譯(k+2,k,-4)=(k-1)(k-2)+k-8=0，AzB30安得万里裘，盖裹周四垠。稳暖皆如我，天下无寒人。（白居易）Z理综重点解析HONGDIANJIEXI（1）∵BD=(-1,-1,2)，AP=(-1,0,1)，AC1CP=(0,-1,1)，∴BD=AP+CP.B1又BD1不在平面PAC内，∴BD1∥平面
19、PAC.CA11（2）∵AP=(-1,0,1)，CP=(0,-1,1)，又PB=(1,1,1)，1B1∴PB譯AP=(1,1,1)譯(-1,0,1)=0，1则AB=a+b,BC=a+BC=a+c-b.11PB譯CP=(1,1,1)譯(0,-1,1)=0.1因为底面边长和侧棱长都相等，且∴PB1⊥AP,PB1⊥CP，即PB1⊥AP，PB1⊥CP，∠BAA1=∠CAA1=60°，∴PB1⊥平面PAC.所以a譯
20、b=a譯c=b譯c=1，2（3）由（2）知平面PAC的法向量为PB1=(1,1,1)，且
21、AB
22、=(a+b)2=3，又由题意知平面BDD1的法向量为AC=(-1,1,0)，1∵PB譯AC=0，21
23、BC1
24、=(a+c-b)=2，∴PB⊥AC，即平面PAC⊥平面BDD1．1AB譯BC=(a+b)譯(a+c-b)=2.11点拨（1）设直线l,m的方向向量分别为a,b，平设异面直线的夹角为θ，面α,
25、β的法向量分别为u,v，则线线平行l∥m寫a∥AB譯BC6112所以cosθ===．b寫a=kb；线面平行l∥α寫a⊥u寫a譯u=0；面面平
26、AB
27、BC
28、2×3311行α∥β寫u∥v寫u=kv；线线垂直l⊥m寫a⊥b点拨此例如用传统几何法求解比较困难，而用寫a譯b=0；线面垂直l⊥α寫a∥u寫a=ku；面面垂向量求解，无需任何技巧，只需熟练应用公式，多写几直α⊥β寫u⊥v寫u譯v=0．注意：这里的线线平行步而已．但应注意，在寻找“基向量”时，应遵循“基向包括线
29、线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包量的模已知或可求，任意两个基向量的夹角已知或可括面面重合；（2）平行与垂直之间的转化常用结论有：求”的原则．①a⊥α，b∥α脅a⊥b；②a∥b，a⊥α脅b⊥α；③例4如图，在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，侧面α∥β，
