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1、Z重点解析理综HONGDIANJIEXI向量在立体几何中的应用⊙吴家山中学刘忠君立几问题虽“变化多端”,但最终落脚点一般是证平行、垂直、求角或探索性问题等,而解决问题的方法常集中在通性通法上,因而对立几的学习要以几何体中的线面关系为中心,重点抓住线面关系的定性分析和定量计算两个方面,围绕几何体的结构特征、线面关系的证明以及空间向量的应用三条主线展开.一、空间向量及应用∴k=2或k=-5,即ka+b与ka-2b互相垂直2例1已知A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设时,实数k的值为2或-5.a=
2、AB,b=AC,2(1)若
3、c
4、=3,且c∥BC,求c;点拨此例涉及向量的平行、垂直、夹角等基础(2)求向量a与b的夹角的余弦值;问题,可直接用相关的法则和公式求解.(3)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值.解析(1)∵c∥BC,二、空间线、面的位置关系的判定与证明∴c=mBC=m(-2,-1,2)=(-2m,-m,2m).例2如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=∴
5、c
6、=(-2m)2+(-m)2+(2m)2=3
7、m
8、=3,AD=1,AA1=2,点P为DD1的中点.求证:(1)BD1∥平
9、面PAC;∴m=±1.(2)PB1⊥平面PAC;∴c=(-2,-1,2)或(2,1,-2).(3)平面PAC⊥平面BDD1.(2)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2),证明建立如图所示坐标系,则D(0,0,0),A(1,∴a譯b=(1,1,0)譯(-1,0,-2)=-1.0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A(11,0,2),B(11,1,2),C1又
10、a
11、=1222+1+0=2,(0,1,2),D(10,0,2),P(0,0,1).222
12、b
13、=(-1)+0+2=5,yD1C1a譯b-110∴cos=
14、==-,即a与b的夹
15、a
16、
17、b
18、1010A1BP110角的余弦值为-.10(3)∵ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4),DCx2∴(k-1,k,2)譯(k+2,k,-4)=(k-1)(k-2)+k-8=0,AzB30安得万里裘,盖裹周四垠。稳暖皆如我,天下无寒人。(白居易)Z理综重点解析HONGDIANJIEXI(1)∵BD=(-1,-1,2),AP=(-1,0,1),AC1CP=(0,-1,1),∴BD=AP+CP.B1又BD1不在平面PAC内,∴BD1∥平面
19、PAC.CA11(2)∵AP=(-1,0,1),CP=(0,-1,1),又PB=(1,1,1),1B1∴PB譯AP=(1,1,1)譯(-1,0,1)=0,1则AB=a+b,BC=a+BC=a+c-b.11PB譯CP=(1,1,1)譯(0,-1,1)=0.1因为底面边长和侧棱长都相等,且∴PB1⊥AP,PB1⊥CP,即PB1⊥AP,PB1⊥CP,∠BAA1=∠CAA1=60°,∴PB1⊥平面PAC.所以a譯
20、b=a譯c=b譯c=1,2(3)由(2)知平面PAC的法向量为PB1=(1,1,1),且
21、AB
22、=(a+b)2=3,又由题意知平面BDD1的法向量为AC=(-1,1,0),1∵PB譯AC=0,21
23、BC1
24、=(a+c-b)=2,∴PB⊥AC,即平面PAC⊥平面BDD1.1AB譯BC=(a+b)譯(a+c-b)=2.11点拨(1)设直线l,m的方向向量分别为a,b,平设异面直线的夹角为θ,面α,
25、β的法向量分别为u,v,则线线平行l∥m寫a∥AB譯BC6112所以cosθ===.b寫a=kb;线面平行l∥α寫a⊥u寫a譯u=0;面面平
26、AB
27、BC
28、2×3311行α∥β寫u∥v寫u=kv;线线垂直l⊥m寫a⊥b点拨此例如用传统几何法求解比较困难,而用寫a譯b=0;线面垂直l⊥α寫a∥u寫a=ku;面面垂向量求解,无需任何技巧,只需熟练应用公式,多写几直α⊥β寫u⊥v寫u譯v=0.注意:这里的线线平行步而已.但应注意,在寻找“基向量”时,应遵循“基向包括线
29、线重合,线面平行包括线在面内,面面平行包量的模已知或可求,任意两个基向量的夹角已知或可括面面重合;(2)平行与垂直之间的转化常用结论有:求”的原则.①a⊥α,b∥α脅a⊥b;②a∥b,a⊥α脅b⊥α;③例4如图,在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,侧面α∥β,