向量在立体几何中的应用 (毕业论文)

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1、向量在立体几何中的应用中文摘要立体几何中的基本思想是用代数的方法来研究几何。为了把代数运算引导几何中来，最根本的做法就是把空间的几何结构有系统的代数化，数量化。向量代数是立体几何中的应用性最好的量，用向量来证明立体几何中的点，线，面之间的位置关系及其解决度量问题显得明快，简捷和容易的方法。关键词：向量；方向向量；法向量；点；直线；平面；平行；垂直；夹角。QuadraticcurvesofthenatureofthemidpointstringAbstractThebasicideaissolidgeometrywithalgebraapproa

2、chtostudyinggeometry.Inordertoputthealgebraoperationsguidegeometry,thefundamentalwayofdoingthatistothegeometryofthespacestructureofthesystemofalgebra,quantification.Vectoralgebraisthree-dimensionalgeometryinapplicationofthebestquantity,withvectortoprovethree-dimensionalgeome

3、tryinpoints,lines,andrelationbetweenthepositionsofsurfaceanditssolvingmeasureproblemislively,simpleandeasymethod.Keywords:vector;Directionvector;Vectormethod;Point;Straightline;Plane;Parallel;Vertical;Angle.目录1引言-2-2共点线与共线点-2-2.1共点线问题-2-2.2共线点问题-4-2.3共面问题-5-3垂直问题-6-3.1线线垂直-6

4、-3.2面面垂直-8-4平行问题-9-4.1线线平行-9-4.2线面平行-10-4.3面面平行-11-5度量问题-11-5.1线线角的求法-11-5.2线面角的求法-12-5.3面面角的求法-13-参考文献-15-致谢-16-1引言几何中的大多数是用代数的方法来研究，为了把代数运算引导几何中来，最根本的做法就是设法把空间几何结构有系统的代数化，数量化。立体几何的基本思想也是代数的方法来研究几何。向量是立体几何中应用性最活的量。2共点线与共线点证明共点线与共线点问题是立体几何中的较多证明题之一，用向量来解决共点线与共线点问题显得明快，简捷和容易入

5、手。下面我们介绍向量法来解决共点线与共线点问题的基本思路。2.1共点线问题例1平行六面体的四条对角线及思对对棱的中点的连线共八条，试证他们必共点。证明：如图1，设平行立面体的一组对棱的中点分别为且连线的中的为,其它三组连线的中点分别为.再设，，，则即：同理可得：即这说明，四点重合。最后设的连线的中点分别为.则同理可得即。这说明点重合，于是命题得证。从这个例题可以知道，证明共点线问题时一般采用以下知识：第一：平行四边形法则以及该法则的结论。即：（图2）设，则所以第二：平行六面体法则。（图3），，这是用平行六面体三个棱上的向量来表示它的对角线向量。

6、但要注意，这四个向量具有同一始点。欲证三直线共点，可用以下方法：在三线上任取三点，去证这三点关于某定点有相同的定位向量。令其中两线相交，如交于点,去证点与上的任一的相连而得到的向量与直线上某相连共线，或再令交于点,去证关于某定点有相同的定向量。2.2共线点问题例2【梅涅劳（Menelaus）定理】设分别是边上（或各边的延长线上）的三点。（图4），试证这三点同在一直线上的充要条件是;(本题中的线段均有向线段)。证明设,，则：，令，于是再令,则有三点同一直线上的充要条件是向量和向量共线，也就是存在非零数，使即：因此有，消去得，但,所以，姑因此;同理

7、可得，又所以，姑所以由即得证毕。用向量法来解决共线点问题时一般采用如下方法：欲证三点共线，可证其中任意两点相连得到的两个向量共线即可。2.3共面问题例3设和是立方体的两个相对顶点，试证立方体不含和的六条棱的中点在同一个平面上。证明设（图5），，，，是立方体中不含和的六条棱的中点。则，，，，，设的中点为，则令的中点为,则这说明是线段的中点。同理可证既为线段和的中点。又这说明共面，即共面。所以六点共面。上面例题可知，证明若干点共面问题时，只证明这些点所在的直线共线就可以。3垂直问题立体几何中的垂直问题指的是线线垂直，线面垂直，面面垂直等问题。用向量

8、法解决垂直问题在立体几何中比较常用的方法。3.1线线垂直若两直线的方向向量分别为，则这两条直线垂直的充要条件是：例4：在单位正方体中，在一个面的对角线