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1、2004年5月安庆师范学院学报(自然科学版)May.2004第10卷第2期JournalofAnqingTeachersCollege(NaturalScience)Vol.10NO.2XXXHahn-Banach泛函延拓定理及其应用章志斌,章义莳(池州职业技术学院, 安徽池州 247000) 摘 要:本文介绍了Hahn-Banach泛函延拓定理及其几个推论,对该定理进行了初步探讨,说明Hahn-Banach泛函延拓定理作为泛函分析三大基本定理之一,有着极其重要的应用。关键词:线性空间;实值函数;线性泛函;Hahn-Banach泛函延拓定理中图分类号:O177文献标识码:A文章
2、编号:1007-4260(2004)02-0033-04Hahn-Banach泛函延拓定理、共鸣定理及闭图象定理是泛函分析的三大基本定理。其应用十分广泛,而且越来越深入地渗透于现代数学的各个领域乃至物理等其它学科。本文拟对Hahn-Banach泛函延拓定理进行一点探讨,分为两大部分。第一部分首先给出Hahn-Banach泛函延拓定理的一般形式,然后以推论的形式给出本定理的若干特殊形式,最后给出本定理的推广;第二部分以4个例题给出Hahn-Banach定理的一些应用。值得注意的是,Hahn-Banach定理的推广实际上也是Hahn-Banach定理的重要应用。1.Hahn-Bana
3、ch泛函延拓定理定理1:(实线性空间上的Hahn-Banach定理·Hahn-Banach),设X是实线性空间,S是X的子空间,P是X上的实值函数,且具有如下性质:i)P(x+y)≤P(x)+P(y);ii)P(Ax)=AP(x)A≥0;如果f是S上的实值线性泛函,Ps∈S,f(s)≤P(s),那么存在X上的实值线性泛函F,使得Px∈X,F(x)≤P(x),且Ps∈S,F(S)=f(s)。定理2:(复线性空间上的Hahn-Banach定理·Bohaenblust-Sobczyk)设X是复线性空间,S是其子空间,P是X上的实值函数,且使得P(x+y)≤P(x)+P(y),P(Ax)
4、=ûAûP(x),又设f是S上的线性泛函,Ps∈S,ûf(s)û≤P(s),那么,存在X上的线性泛函F,使得 Ps∈S,F(S)=f(s),Px∈X,ûF(x)û≤P(x)。定理3:(线性赋范空间上的Hahn-Banach定理·Hahn-Banach),设X是线性赋范空间,Y是X33333333的子空间,如果y∈Y,则存在x∈X,使得‖y‖=‖x‖,且Px∈Y,y(x)=x(x)。以上我们给出了Hahn-Banach泛函延拓的一般性定理,以下几个直接推论给出定理的若干特殊形式,而且实践中应用最为广泛的是这些特殊形式。推论1:设Y是实数域F上的线性空间X的子空间,如果x∈X,inf
5、‖x-y‖=d>0,那么,存在y∈Y3333(x)=d,而且Py∈Y,x3(y)=0。x∈X,使得‖x‖=1,x3333(x)推论2:设X是线性赋范空间,X≠{0},那么Px∈X,存在x∈X,使得‖x‖=1,x3333=‖x‖。特别地,如果x≠y,则存在x∈X,使得x(x)-x(y)=‖x-y‖≠0。sup333(x)û。推论3:设X是线性赋范空间,Px∈X,则‖x‖=x∈Хûx3‖x‖=1上述推论2是Hahn-Banach定理的一个重要结果,这一著名断言有着许多有趣的应用。其中之一就是定义在R上的有界子集类上的有限可加的测度问题,它是一个平移不变量,而且是Leesgue测度的推
6、广。为了解决这一问题,我们首先需要给出Hahn-Banach定理的推广。X收稿日期:2003-02-10XX作者简介:章志斌(1953-),男,安徽池州人,池州职业技术学院教务处副处长。©1994-2007ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net·34·安庆师范学院学报(自然科学版)2004年定理4:(Hahn-Banach定理的推广),设X是实线性空间,P是X上的实值线性泛函,使得P(x+y)≤P(x)+P(y),且当A≥0时,P(Ax)=AP(x)。又
7、设f是子空间S上的线性泛函,使得Ps∈S,f(s)≤P(s),再设F是X上的线性算子所成的Abel半群(即PT1,T2∈F,有T1T2=T2T1∈F)。使得当T∈F时,Px∈X,P(Tx)≤P(x),且对所有的s∈S,f(T(s))=f(s),那么存在f在X上的延拓F,使得Px∈X,F(x)≤P(x),F(T(x))=F(x)。证明:本定理的证明即是Hahn-Banach定理的一个应用。首先,我们需要选取一个新的次可加函1数(如同P),我们定义 q(x)=inf()P(T1(x)
