复lp（Cn）空间中单位球的体积及其渐近性质-论文.pdf

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1、2014年3月应用教学争’干．笄数学学报第28卷第1期Mar．2014CommunicationonAppliedMathematicsandComputationV0l

2、28No．1DOI10．3969／j．issn．1006—6330．2014．01．007复p(cn)空间中单位球的体积及其渐近性质竺芳远，何斌吾(上海大学理学院，上海200444)摘要令Bp(c”)={z∈Clll。≤1)为n维复空间中的单位球，1≤P≤+。。，主要得到其体积公式，并讨论当佗一o。，P一。。时其体积的某些渐近性质．关键词单位球；空间；

3、体积；渐近性质2010数学分类号52A20中图分类号O186．5文献标志码A文章编号1006—6330(2014)01—0047-06Volumesofunitballsincomplexp(C仡)一spaceanditsasymptoticpropertiesZHUFang—yuan，HEBin-wu(CollegeofSciences，ShanghaiUniversity,Shanghai200444，China)AbstractLetBp(c)={∈CIIlllp≤1}betheunitballofthen—dim

4、ensioncomplex一space，1≤P≤+。o．Thevolumeformulaof(c)areobtained，andtheasymptoticpropertiesofvolumesasn_}oo．P．^+∞arefoundout．Keywordsunitball；一space；volume；asymptoticproperty2010MathematicsSubjectClassification52A20ChineseLibraryClassificationO186．50引言设()和(Cn)分别为实n维空

5、间和复n维空间，其范数分别定义为xll=()，⋯，⋯=(¨均墨)，，⋯¨，⋯c收稿日期2012—05—04；修订日期2012—10—08基金项目国家自然科学基金资助项目(11071156)通信作者何斌吾，研究方向为凸几何和几何分析．E-mail：hebinwuQshu．edu．cn第28卷然后，分别记()=x∈llIxll≤1)和(c”)={∈∈C⋯≤1)为()和(C)中的单位球．长久以来，对()中的单位球的研究，很多数学工作者们都做了大量的工作：Badger[】用一阶线性初值问题来计算体积；Alzer[。]介绍了单位球

6、体积的某些不等式；Lasserre[。】给出了单位球体积的快速证明；Meyer和Pajor[]研究了空间中单位球的剖面问题；陈巧云和何斌吾[5]讨论了超球帽的面积公式和应用；薛莲等[6]给出了单位球的迷向常数；Huang和He[]给出了单位球的体积公式．近年来，由于研究的深入，复空间c开始受到广泛的关注．对应于，中的截面问题和投影问题正成为近期研究的热点之一：HijabIs]计算了在c中单位球的勒贝格测度；Koldobsky和Zymonopoulou[9]对复(c“)空间中单位球体积的计算给出了定义．对于(c)的体积(勒

7、贝格测度)，Hijab的文章仅给出了P=2，P=+。。时的体积，即vB。(cn)：箐，。。(cn)=7r．本文用不同的方法得到了当1≤P≤+。。时，vB(cn)的一般公式，Hijab的结果仅是本文结果当P=2，P：+。。时的特殊情况．除此之外，在此基础上，本文讨论了当礼一。。，P一。。时(cn1的渐近性质．1复p(c礼)空间中的单位球的体积公式记C：{Xl~-ix2，X3-~ix4，⋯，X2一1-Fix2)JXk∈，=1，2，⋯，2仡)，令(c)=x∈CJlIxllp≤1}为n维复ev(C)空间中的单位球，1≤P≤。。，

8、其中=(Xl+ix2，x3+ix4，⋯，x2一1+ix2)，(c)中的P范数定义为圳=(、=1¨墨)令vB(cn)表示Bp(c)的体积．为了计算体积，用自然的映射CH．由文献[9](={(+i。+i⋯，一+i)∈c：+；％)号≤1Jn=⋯：¨≤)有定理1令(c)={∈CIlIxll≤1}，则VBv(C~)-第28卷同样地，我们可以得到结果2渐近性质在得到如上的结果后，我们就能将这个结果运用到其他的例子中去，比如我们能计算n维复空间中的多胞体的体积，此时，令P=1，那么，就能得到厂(27r)礼B(c“)丽‘又比如，可以研究

9、欧氏球，这就是Hijab在文献[8]中给出的在C”空间中单位球的勒贝格测度．此时，P=2，这样，运用公式就能得到=筹．同样地，我们可以了解当P一∞时Bo。(C)的体积．此时，已知2F2n-21)：vB(c一)Pr(+1)’则由伽马函数的一些性质【lo]，当P—O0时，能得到2丌F—(；)r(+1)可一因此，我们知道v