用薛定谔方程和路径积分方法研究中子双缝衍射-论文.pdf

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1、第47卷第3期南开大学学报(自然科学版)Vo1．47N932014年6月ActaScientiarumNaturaliumUniversitatisNankaiensisJun．2014文章编号：0465—7942(2014)03—0068—06用薛定谔方程和路径积分方法研究中子双缝衍射李宏，孟祥东，张斯淇，吴向尧，刘晓静，王婧，马季，郭义庆(i．吉林师范大学物理学院，吉林四平136000；2．中国科学院高能物理研究所，北京100049)摘要：通过严格求解薛定谔方程，得到双缝中的中子波函数，再由路径积分方法求

2、得中子衍射波豳数，最后推导出中子双缝相对衍射强度和衍射图样位置之间的解析关系，所得理论结果与实验数据符合较好．关键词：薛定谔方程；双缝衍射；路径积分；退相干效应中图分类号：057文献标识码：AO引言在光有波粒二象性的启发下，德布罗意于1924年提出微观粒子也具有波粒二象性的假说，该假设的正确性于1927年被革末和戴维孙所做的电子在晶体中的衍射实验所证实．后来又有很多的实验观察到中子、原子、分子等微观粒子也具有衍射现象．因此物质波衍射的理论与实验问题已成为国际上研究的热点之一¨1]，这些实验成为揭示微观领域物质

3、波的量子效应和基本的量子现象的有效工具，也可用于测量基本物理常数和高精度测量惯性力[6-7]~目前，有很多理论方法研究物质波的单缝、双缝和多缝衍射现象，得到一些计算结果．但是，这些方法都是在模型的基础上建立的，只可以描述部分实验现象，需要调节一些参数，没有普适性，而且计算结果也不够精确．用量子理论新方法研究中子的双缝衍射．通过严格求解薛定谔波动方程，得到缝中的中子波函数，由路径积分量子方法得到中子衍射波函数，最后推导出中子双缝相对衍射强度和衍射图样位置之间的解析关系．并把理论计算结果与实验数据进行比较，发现它

4、们符合较好．1在双缝中的中子波函数(，￡)对质量为的中子沿z轴正方向运动，相当于一平面波沿轴正向传播．设两缝的宽度分别为a、，缝长均为b，两缝之间厂l_]r，r_]距离为d，取z轴为缝长方向，Y轴为缝宽方向如图1所示．通过求解薛定谔方程来求得双缝中的中子左缝波函数(，t)．在t时刻，中子沿z轴正方向入射，其波函数表示为：纯(，￡)一Ae}‘一f(1)图1中子双缝衍射图是常数，含时薛定谔方程为：Fig．1Neutrondouble-slitdiffractionI『+())一Eq~(Y(2)中子的能量和质量分别

5、为E和M．左缝中的势能为：(z，，)一。。≤z≤6，一n一鲁≤≤一鲁，。≤≤c(3)lc×3其它式(3)中C为缝厚．在缝中V一0，不含时薛定谔方程写为：收稿日期：2013-02—22基作拿者简介阜：国家自然科学基金(61275047)；吉林省自然科学基金(2o13OlOlO31JC)：李宏(1989一)，男，吉林公主岭人，硕士研究生．通讯作者：吴向尧(1965一)男，安徽枞阳人，教授，研究方向：凝聚态理论．E—mail：wuxy2066@163．com第3期李宏等：用薛定谔方程和路径积分方法研究中子双缝衍射·

6、69·一)一)(4)，z求解式(4)，再通过分离变量法求出缝内波函数：++ozg(F)3x。av2+。h2、)一O(5，)＼，边界条件为：一9(0，Y，)一9(b，Y，)一0一(z，一口一等，2)一(，一d，)一。(6)∑m通过分离变量9(x，Y，)一x(z)y()z()，可得式(5)的一般解为：一(sincos(+insinexpi(7)则含时薛定谔方程的一般解为：(D例sinc。s(+insinexpe一古Et)(8)由波函数在一0处连续可得：仇(z，Y，，￡)l=o一％(z，Y，2，)lo，(9)(si

7、n字cos+sinsin)，(1O)通过二重傅立叶级数展开，求得系数D和D：：重n、>cos一一√(2m+11)6(2n+1)Tr．n1(2m+1)7cdm，一0，1，2，3，⋯(11)一一口1噩一孚乓dsinsin捌16A1(2m+1)7codm，一0，1，2，3，⋯(12)(2m+1)(2n+1)7r口1将D和Dt啪代人式(8)中，可得：l6Ae√譬^0一6一一eh一t(2m+1)(2n+1)7c。(2m+1)7c(2m+1)7cncos[sinn1口1一．十．1(2m十1)7【d(2十1)z．(2m十1

8、)xycosin——一m(13)al盘1同理，可求得右缝中的波函数：16A2e√譬一6一n‘e中一(2m+1)(2n+1)7c(2m+1)7c，．(2+1)7cz——CZm——一0±[sin号口2口21(2m+1)7c(2m+1)T【一。oSnsin(14)口2口22中子的衍射波函数(，)下面将利用路径积分方法求得衍射屏上的波函数．·70·南开大学学报(自然科学版)第47卷中子衍射区域图如图2所示，