基于线性二次型最优控制器的平行双倒立摆系统稳定控制-论文.pdf

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1、东莞理工学院学报第21卷第3期J0URNALOFDONGGUANUNIVERSITYOFTECHNOLOGYV01．21NO．32014年6月Jun．20l4基于线性二次型最优控制器的平行双倒立摆系统稳定控制戚东东张春张传松谭子良(安徽工程大学电气工程学院，安徽芜湖241000)摘要：倒立摆控制系统是一个典型的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合控制系统。本文在建立平行双倒立摆控制系统数学模型的基础上，设计了线性二次型最优调节器(LQR)以实现对平行双倒立摆系统的最优控制，并通过MATLAB仿真实验验证了该方法的

2、有效性。关键词：倒立摆；建模；LQR控制；仿真中图分类号：TP273文献标识码：A文章编号：1009—0312(2014)03—0008—04倒立摆系统的控制是控制理论应用的一个典型范例，其结构简单、成本较低，便于用模拟或数字方法进行控制。虽然其结构形式多种多样，但无论何种结构，就其本身而言，都是一个非最小相位、多变量、绝对不稳定的非线性系统⋯。由于倒立摆系统的绝对不稳定性，必须采取有效的措施进行稳定。其控制方法在军工、航天、机器人领域和一般工业过程中都有着广泛的用途，因此很多学者提出很多的控制方法，然而这些控制方

3、法主要应用在单摆系统中，而对平行双倒立摆系统的控制研究则较少，文献[7]应用滑模变结构的控制方法对双摆系统进行了控制研究，文献[8]应用拟人智能控制方法对两摆问有弹簧连接的平行单级双倒立摆的稳定控制和两个电机的解耦控制问题进行了研究，文献[9]应用线性理论的控制方法对两摆杆长度相同的平行双倒立摆系统进行了控制研究。本文分析了平行双倒立摆系统的特定物理结构并进行合理建模，探讨使用线性二次型最优调节器(1inearquadraticregulator，LQR)实现对两摆杆长度不同的平行双倒立摆系统的稳定控制问题。1平行

4、一级双倒立摆的数学模型1．1数学模型的建立为简化系统分析，在模型建立过程中，忽略空气流动阻力以及各种次要的摩擦力。这样，可将双倒立摆系统抽象成小车和两个匀质刚性杆组成的系统(如图1所示)，其中，为小车的质量；为小车水平方向的位移；F为加在小车上的力；m、m：分别为左右两个摆杆的质量；2、2，J分别为左右两个摆杆的长度；J、J2分别为左右两个摆杆的转动惯量；0、0分别为左右两个摆杆与竖直方向上的夹角，即摆角。对小车和摆杆分别进行受力分析，运用牛顿第二定律得双倒立摆系统的精确数学模型为F=(M+m1+，n2)x+m1L

5、1(1COS01一sin01)+m2L2(2COS02一；sin02)n=，J+s(1)gsin：=+s收稿日期：2013—12—18基金项目：安徽省自然科学基金项目(1208085MF115)；国家级大学生创新创业训练计划项目(201210363040)。通讯作者：张春(1972一)，男，安徽望江人，副教授，硕士，主要从事电气传动、智能控制等方面的教学与研究。第3期戚东东，等：基于线性二次型最优控制器的平行双倒立摆系统稳定控制9图1平行一级双倒立摆系统1．2数学模型的线性化在两摆摆角ff，fzI

6、s01—1,cos：1sin一01,sin一：,，()0，(dO2)O，则线性化处理后的微分方程组为f’(+m1+m2)+m111+m222=+互(2)【Oe：睾+互设状态变量为、x、0．、0、0：、0，经过变换易得状态空间表达式为[x010202]：01022]+BF(3)[0，02]=C[x0010202](4)01000—3m1g0—-．．3m2g00．．．——gq00010其中A=3g(4M+4m】+m2)9m2g00n04L1q～，，000009m1g3g(4M+4m2+m1)—00。—4L2q曰=[。鲁

7、。其中q=4+ml+m22LQR控制器设计2．1系统能控性分析系统能控性是LQR控制器设计的前提，通过编程求解系统能控性矩阵Ⅳ：[曰4BABAABA曰]的秩，大量仿真实验表明只要≠，系统能控矩阵Ⅳ的掰=6，系统状态完全能控；而当L=L时=4<6，系统状态不完全能控。2．2LQR控制器设计线性二次型(LinearQuadratic，LQ)是指系统的状态方程是线性的，指标函数是状态变量和控制10东莞理工学院学报2014往变量的二次型。线性二次型控制理论已成为反馈系统设计的一种重要工具，它为多变量原馈系统的设计提供了一种

8、有效的分析方法，它适应于时变系统，可以处理扰动信号和测量噪声问题以及处理有限和无限的时间区间等问题。考虑系统的状态方程为f(t)=Ax(t)+Bu(t)，1y(f)：Cx(t)+Du()设状态反馈控制律(t)=一Kx(t)，使得二次型性能指标最小l，=()sx(ts)+1()Q(t)x(t)+UTR(t)u()]dt(6)Jto其中，(t)为系统的状态变量；