变系数Black-Scholes模型有红利支付下的欧式期权定价估计-论文.pdf

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1、第46卷第3期郑州大学学报(理学版)Vo1．46No．32014年9月J．ZhengzhouUniv．(Nat．Sci．Ed．)Sep．2014变系数Black—Scholes模型有红利支付下的欧式期权定价估计张东云(河南师范大学商学院河南新乡453007)摘要：主要研究变系数Black-Scholcs模型有红利支付下的欧式期权定价的估计问题．首先，构造了波动率函数的估计量，并讨论了所得估计的强收敛性、渐近正态性和收敛速度．然后，基于波动率函数的估计，利用期权定价公式得到了变系数Black-Seholes

2、模型有红利支付下的欧式期权价格的估计．最后，证明了所得估计量是期权价格的强相合估计．关键词：变系数Black．Scholes模型；波动率函数；期权定价；估计；强相合性中图分类号：021I．64；F830．91文献标志码：A文章编号：1671—6841(2014)03—0041—04DOI：10．3969／j．issn／1671—6841．2014．03．0100引言在金融数学领域中，期权定价是一个很重要的热点问题．早在1973年，文献[1]发表了著名的期权定价公式．在随后的30多年里，金融学者们在此基础上

3、做了大量的研究工作．例如，文献[2]研究了随机利率模型的期权定价问题，文献[3]基于随机波动模型讨论了期权定价问题等．更多关于期权定价问题的研究可以参见文献[4—6]．在经典的Black—Scholes模型中，股票价格的期望收益和波动率均为常数，但是大量的实证研究表明，把波动率设定为常数往往不能很好地描述实际数据的波动特征，而把波动率看成随时间变化的函数较为合理．鉴于此，本文考虑变系数的Black-Scholes模型，其期望收益和波动率都是时间的函数．在Black．Scholes的期权定价公式中，包含有股

4、票价格的波动率，它是一个未知参数，在金融市场中是无法观测的．因此，在期权定价公式的实际应用中，对波动率进行科学有效的估计是一个非常关键的问题．如果给出的波动率函数的估计量具有优良性质，那么期权定价的应用问题就迎刃而解了．本文首先构造了模型的波动率函数的估计量，并讨论了估计量的优良性质．然后基于波动率函数的估计，利用Black．Scholes期权定价公式给出了变系数模型有红利支付下的欧式期权价格的估计量，并讨论了期权价格估计量的优良性质．研究结果表明该估计量具有较高的精度．另外，由于所得到的期权价格的估计量

5、具有显式的表达式，可以直接利用金融市场中的实际数据进行计算，提高了期权定价公式实际应用的便捷性．1变系数Black-Scholes模型波动函数的估计假设标的资产的价格过程满足如下的随机微分方程：警舢⋯㈤，(1)其中／z(t)是连续的漂移系数，()是波动率函数，它们均为未知的参数函数，并且在市场数据中是不可观收稿日期：2013—11—25基金项目：国家自然科学基金资助项目，编号71203056；河南师范大学青年骨干教师培养项目，编号051．作者简介：张东云(1978一)，男，副教授，主要从事金融计量分析、经

6、济统计分析研究，E-mail：dongyunzhang@163．com．42郑州大学学报(理学版)第46卷测的．{B}是标准布朗运动，且满足对任意的c，>0，当s，t∈[0，T]时，有ELI置一IJ≤CJt—sI．在期权定价中，波动率函数(t)起着至关重要的作用，因此，寻找波动率函数具有优良性质的估计量是期权定价理论中的关键问题．下面的讨论是基于文献[7]的研究成果．对T>0，设=0，l，2，⋯，k}是区间[0，T]的一个划分序列，令，2Sn()=∑lB()一()l，则有引理1成立．引理1在区间[0，t]

7、上，选取划分为{jt／n，：0，1，2，⋯，17,}，令．s(曰)=∑[B(jt／n)一((卜1)t／n)]，则当n一∞时，有S()一or(t)几乎处处成立．由鞅论的知识，易知引理1成立．下面基于观测样本，构造波动率函数or()的估计量．设0=<<<⋯<=T，令{X(￡)，X(tl)，X(￡)，⋯，X(f：)}是来自模型(1)的等距观测样本数据，构造估计量为(t)=∑[1n(X(t~))一ln((t)]．(2)(t)即为波动率函数(t)的估计量．下面的定理1和定理2描述了估计量gr'o(t)的优良性质．定

8、理1波动率函数的估计量(t)是(t)的强相合估计量，并且是渐近正态的，即1)当11,一。。时，有(t)一or(t)几乎处处成立；2)若存在，则当凡一∞时，有[(￡)一z(t)]Ⅳ(0)Ut)，其中符号“”表示“依分布收敛”=2tJf0[LQJ1定理2由式(2)给出的估计量o-Z．(t)满足I(t)一0-2()I=O()，几乎处处成立．定理2给出了估计量：(t)的精度．定理1和定理2的证明可以参见文献[7]．本节给出了波动率函数