由一道高考题探究圆锥曲线的光学性质及其应用.pdf

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1、2014年第8期中学数学研究·l7·1_p4+p。。+p2。2_1p4++p22点M，记PA，P，删的斜率分别为kl，k2，k3．问：是否存在常数A，使得k+k=Ak。?若存在，求A的p·。+一p+p22+p22。。值；若不存在，说明理由．塑本追源，不难发现该题也是圆锥曲线的一条-1．所以性质的特例，22这表明2014年江西数学理科卷解析几何大题结论4已知F是椭圆c：+=1(口>b>U￡，．是圆锥曲线一条性质的特例!．0)的右焦点，过F作轴的垂线与椭圆交于点P，AB无独有偶，我们回顾‘V是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，AB与椭圆20

2、13年江西理科20题：如图2／／＼、、，／一F／＼的右准线交于点M，则直线，，P肘的斜率成等所示，椭圆c：+=1(口—～—／If差数列．该性质对双曲线和抛物线同样成立．>6>0)譬过点P(1，吾)，离图2读者可自行将这一结论推广拓展到双曲线和抛心率e=1物线．，直线z的方程为=4．连续几年江西卷解析几何大题均是源自圆锥曲(I)求椭圆C的方程；(2)a8是经过右焦点F线的性质，这将激发我们去探索圆锥曲线更多神奇的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于的性质!品E目口翻印日口由一道高考题探究圆锥曲线的光学性质及其应用浙江省绍兴市鲁迅中

3、学(312000)虞关寿浙江省富阳市新登中学(311404)杨志芳2013年山东省高考数学卷(理)给出了这样一式解题，要有相当强的字母运算能力．为此笔者联想到在我们的教材中(人教选修2—1)一则阅读材料道题：椭圆c：+=1(口>b>o)的左、右焦点“￡，《圆锥曲线的光学性质及其应用》，发现用圆锥曲线·厅的光学性质去解这题方便简捷．笔者下面先探求一分别是F。，Fz，离心率为，过F。且垂直于轴的直些圆锥曲线的光学性质，然后例举它们的应用．线被椭圆C截得的线段长为1．性质1由焦点发出的光线经椭圆曲面反射后(1)求椭圆C的方程；的光线必经过另一焦

4、点；由焦点发出的光线经双曲(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，线曲面反射后的光线所在直线必经过另一焦点；由连接PF，，P，设FP的角平分线删交C的长焦点发出的光线经抛物线曲面反射后的光线必平行轴于(m，0)，求m的取值范围；对称轴；(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线下以椭圆为例证明．如图IZ，使得Z与椭圆C有且只有一个公共点．设直线1，设点P(x。，Y。)，过P的切线1PF，P的斜率分别为k，k：．若k≠0，试证明+．oi’方程为z：+=1，其斜／——1为定值，并求出这个定值．2率k：一2．，设焦半径口Yo图1笔者阅读了

5、该题的详解，感觉到命题者所给的PF与切线所夹的左弦切角解法尽管比较常规，但太繁太杂，学生若按这样的方·18·中学数学研究2014年第8期为，焦半径PF：与切线所夹的右弦切角为，由到i}．一，．下以椭圆为例证明．一J，一。0+CY0一(0+c)设P(‰，Yo)，则切线PT的P／角公式可得tanot==：一0+c+kyor，／11+后．一．戈0+C方程为+=1．令y：0，／oj口0后一X,0—C得(，o)’．．．1I=一c一(+kyo)+C．t～a：—21+．na(a+e‰)1TF2『_图4XO—C．XO，然后将=¨l__)一=一=一，--．

6、’II=一口一n，’．‘⋯1‘⋯一“Ah代入可得一以=b2cxo一：．·；‰一，，b。Yo‰，，．．．=P为b2x+口PF2的外角平分线．一y0一——————一：一一，。+。：。。aYo性质3(1)已知P为椭圆2+=l(口>6a‘YoYob目一：■0，．-．。．·tanot：—>0)上不为椭圆长轴顶点的任一点，F，F2为椭圆，aaC一■．．0+．ccyo的两焦点，在△PF。F2中，设F1PF2=0，／PF1=Of，PF，=J8，△PFF2的面积为S，椭圆的离心b2ta=，．．．=，．．．反射光线必过右焦点．率为则有s=b2tan号，e=s

7、in(a++ifl否)；性质2(1)已知P为椭圆a+告D=l(a>6(2)已知P为双曲线一=1上不为顶点的>0)上不为椭圆顶点的任一点，F，F2为椭圆的两任一点，F，F2为双曲线的两焦点，在APF。F2中，设焦点，过P作椭圆的一条切线z交椭圆长轴于T点，／FlPF2=0，／_．PF1：Ol，PFl=卢，APFlF2脯：ITFII,助／_．．FIP的外角平的面积为S，双曲线的离心率为e．则有S=七，e分线；ta畸)，一(±色2，Isinct—siI／下以椭圆为例证明．0o丁P、～设lPF1I=m，IPI=l＼＼n，s=mnsin8，·．·m

8、2+n2—图2图32mncosO=(2c)，即(m+(2)已知P为双曲线!一Y，2=1a，b>o)上n)‘一2mn(1+cosO)=4c，图5不为双曲线顶点的任一点，F，为双曲线的两焦又‘．m