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《（精选）高考数学复习点拨 导数中错的反思.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、导数中错的反思导数是研究函数性质(单调性、极值、最值等)的有力工具，但如果对导数的概念掌握不牢固，对导数的性质理解不到位，就容易造成会而不对、对而不全的现彖.本文结合具体例了辨析在学习导数屮比较容易出错的几个问题。一、混淆“曲线过一点的切线”与“曲线在该点处的切线”两个概念例］.求曲线y=x3+3x2-5过点M(l,-1)的切线方程.错解：由y=x3+3x2-5知y'二3/+6x,:.yfIx=i=9.故所求切线方程为y十l=9(x-l),即9x-y-10=o.错解反思：曲线过点M的切线与曲线在点M处的切线是不同的，曲线在点M处的切线是
2、指切点在M处的切线，曲线过点M的切线还可能存在切线不在M处的另一条切线，两者是有区别的.正确解法：由y=xL；+3x2-5知yz=3x2+6x,设切点为P(x0,yo).则y'x=x)=3x02+6x0.曲线在点P处的切线方程为：y-yo二(3x02+6x0)(x-xo).又切线过点M(1,-1),则T-yo=(3xoZ+6x0)(1-xo).整理得yo=3x°'+：3xj-6xoT・而点P(xo,y0)在曲线上,则y0=x03+3x02-5./.xo3+3xo2_5=3xo'+3xo2_6xoT.・：整理得xo'-3xo2+2=O.
3、即(x()T)2(Xo+2)=0./.Xo=l或Xo二-2.则切点为P(l,-1)或P(-2,-1),故所求的切线方稈•为9x-y-10=0或y二T.二、因忽视解题顺序而致错例2.求函数/(x)*在"2的导数.错解：V/(2)=4,・・・.广(2)=0.错解反思:/⑴在点无处的导数广(兀)，实际上是导函数广(兀)在"X。处的函数值,即•厂(X。)=.厂(x)L-=.tn・故求/(X)在xo处的导数广(观)，应先求/(X)的导函数广(X),再将x=XO代入广⑴求值，顺序不能颠倒.正确解法:v/r(x)=2x,/./r(2)=4.三、在求函
4、数单调区间时用“U”连接致误例3.求函数y=x3(xeR)的单调区间.错解：令y'=3x7>0,得xHO；令｝/=3x?<0,得X不存在.故尸x‘的递增区间为(-8,0)和(°,+8).错解反思:这与我们知道的“尸弋是R上的增函数”相矛盾.(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)±递增(递减)的充要条件是：对任意的xe(a,b),有广(x)NO(广(x)WO),且fr(x)在(a,b)的任意了区间内都不恒等于零(若广(x)恒等于零，则f(x)为常数函数)，即函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有广(X。)二0,英至可以
5、有无穷多个点处有广(X。)二0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个了区间.利用导数求单调区间时要注意两点：⑴多个增(减)区间Z间用“、”或“和”相连接，而不用“U”；(2)若多个增(减)区间Z间有公共区间端点，且函数在端点处连续，一定要合并.正解：令令yz=3x2>0,得xHO.又f(x)在x=0处连续，则f(x)是R上的增函数.四、对题意理解不清而致错例4.求曲线)=3x-x3的过点4(2,-2)的切线方稈.错解：显然点A在曲线y=3x-x3±,且/r(x)=3-3x2,A/(2)=-9.故所求切线方程为y+2=-9(%-2),即
6、9x+y-16=0•错解反思：曲线过点人的切线与曲线在点A处的切线不同，前者既包括点A处的切线,也包括过点4但切点为另一点的切线.因此，解题时必须理清头绪，弄清题意.正解：设切点为儿)，•・•=3-3x2,・•・在点P处的切线方程为y-y0=(3-3x02)(x-%)・又切线过点A,:、一2-(3x0-x0')=(3-3x02)(2-x0),整理,得xo3-3v+4=0,即(xo+l)(xo-2)2=O.・•兀=I或兀=2•・••当x0=-l时,切线方程为y=-2,当x0=2时,切线方程为9x+y-16=0.五、忽视导数为零的点仅是该点
7、为极值点的必要条件例5.求函数f(x)=^/(2x-x2)2的极值.错解:f(x)的定义城为(-8,十8).ff(x)=~(2x-x2)~^(2-2x)=~^=^Lo33V2x-x2令/'(x)二0,得x=l.当x0,f(x)为增函数;当x〉l时,广(x)〈0,f(x)为减函数.・・・f(x)只在X=1处取得极大值f(1)=1.错解反思:可导函数的极值点一定是它的导数为零的点，但导傲为零的点，不一定是该函傲的极值点.也就是说，导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，同时还要注意定义域内导数不存在的点.正确解法:f(x)
8、的定义域为(-8,十8),令f'(x)=0,得x=l,而x=0和x=2是f'(x)不存在的点.列表考察ff(x)的符号:X(—oo,0)0(0,1)1(1,2)2(2,+oo)/(X)-—不存在+0—不存在
