多目标规划问题及其解决方法

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1、第卷第期济南文通高等专科学校学报年多目标规划问题及其解决方法汽车工程系徐安摘要由于多目标规划问题的直接解法难度较高,所以,木文从问题的背景和容许性出发,讨论了在各种意义下共多目标规划问题转化为较易解决的单目标规划问题的。几种方法关键词多目标规划解决方法多目标规划问题我们把具有两个或两个以上目标函数的规划问题,叫做多目标规划。一般地‘考虑,,⋯,。,,,,⋯,。,,⋯,二,个变量记作一个约束条件记,,,⋯,,王,,,⋯,,,作个目标函数记作,,,⋯,丁,则可以不失一般性地将,⋯,一任。,”,,,称为多目标规划的标准形式其中任仪任

2、一,⋯,。这里,有两点需要申明,一是我们所讨论的多目标规划戈中,目标都是规范化的,,,一,王为一维向量函,二是目标函数数其最小值需在下面予以界定。向量集的极值问题,,,,。了。众所周知维空间中的点一为一维向量为了比较向量集合,。,中向量的大小需引进以下几个向量不等式记号为此设,,,,,,,··,⋯丁几丁任⋯并且规定,,,,之的充要条件为乡⋯本文一一收到的充要条件为’,一,⋯,之的充要条件为》,,,·⋯但至少存在一个毛。砚使。,”,”。,接下来设注意这里的为中的点集为书写方便不另加标识但应将。其与维向量区别开来以下情况类似任如果

3、对一切任有”墓则称“为的绝对最小向量。绝对最小向量是按其每个分量都最小界定的。显然,这种向量是非常理想的。但一般情况下,它很难存在。为此·再设仁,“任如果对一切任有。三或‘则称为网量集合的最小间量或弱最小问量。由于在维空间中,向量和与其相应的点不加区别,因此将以点集合的绝对最优点、有效点和弱有效点来指代向量集合的绝对最小问量、最小问量和弱最小向量。点集、。、合的绝对最优点有效点和弱有效点的全体分别记作和二三者之间具有以下简单的包含关系。仁二,咬同时,点集合的有效点和弱有效点必是的边界点。多目标规划的绝对最优解、有效解和弱有效解

4、若’任且对任意及一切一,,均有毛’墓’。。则称是多目标规划的绝对最优解其全体记作基于与本文前面相同的,。。任,,道理再给出多目标规划的有效解和弱有效解的概念设如果对任意任月。二或。。,。二。。则称是多目标规划的有效解或弱有效解其全体分别记作和,对多目标规划总有、,二,仁,。接下来我们自然会对有效解弱有效解、与有效点弱有效点之间的关系产生兴趣对此,若称哎任为约束集合的像集,则有如下定理成立。,二,,定理在像集上若已知则在约束集合上便有任一‘厂产马勺工刁了、声、‘℃,二任一、任,定理表明像集上有效点弱有效点的原像就是多目标规划的有

5、效解弱有效解。解决多目标规划问题的几种方法,,。要求个目标同时实现最优往往是很困难的常常是有所失才能有所得在各种不,。,同的思路下对得失的不同考虑就引出了各种合理处理得失的方法而且由于直接解多目标问题较为困难,所以也往往将它们转化为较易求解的单目标问题,由于转化的方法不同,也形成了多种方法。在此仅对几种较为主要的方法进行论述。主要目标法在所有的个目标函数中若根据具体问题的实际含义确定了一补主要目标,而将,其他目标在一定的允许界限内当作约束条件来处理这样就把原来的多目标问题转化为一个以主要目标为目标的单目标规划。,,不妨设为主要

6、目标而对其余目标给定一组允许界限如,,二羁簇落一,。其中当为一二或为。时转为单边限制,如此处理后多目标规划即转化为下述单目标规划任’,,,任簇,⋯簇灯,,主要目标法简单可行它可以在保证次要目标取值的前提下求出主要目标尽可能好,。的值因而对实际间题往往很适用分层序列法由,于同时处理多目标规划比较困难故可将各目标按其重要程度排出一个次,,,,序然后在前一目标最优解的基础上求后一目标的最优解因而每次需解决的都是一个单目标间题,为此不妨设各目标函数按其重要程度排成如下次序,,⋯,几,,,,,首先对第一个目标函数求最优并找出其所有最优解

7、的集合记为然后在内求,,直至求第二个目标函数的最优解记此时的最优解集合为依次类推出第个目标函数的最优解求解过程的模型如下,〔份暇一‘获,中丫,,一,。,二一。,。图就一二的情形给出和的几何解释显然分层序列法意义下的最优解只能保证最重要目标的最优。同时该方法有解的前提是,,·,,,,,。,,⋯一,⋯非空且都不能只有一个元素否则很难进行下去,。,。办可以证明仁即分层序列法意义下的最优解都是有效解功效系数法在涉及某些多目标优化问题时,要求个目标函数中,前个目标越小越好,后一。,,个目标越大越好所谓功效系数法就是针对这些目标函数值的好

8、坏分别给定一个功效,,,,,,,⋯〕之间的一个数目,一系数是在〔标值达到最满意时有或、。,而当目标值为最差时一。用于描述与之间关系的函数「〕,二,,⋯,称为功效函数。如令一、告六然后求二〕月〔,〕会,,‘。。的最优解其全体记作则可以证明仁,,,。,式或表明采用功效系数法时一个