1998-数二真题、标准答案及解析

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1、1998年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心1998年全国硕士研究生入学统一考试理工数学二试题详解及评析一、填空题112++−−xx（1）lim=.2x→0x1【答】−.4【详解1】用四则运算将分子化简，再用等价无穷小因子代换，2()114++−−xx原式=limx→02xxx()112++−+221(−−x1)122=lim因11−−−x~x2x→04xQQ：81321659212−x21==lim−.2x→024x【详解2】采用洛必达法则，110−21+−xx2111−x−+x原式⎯⎯0→=limlimxx→→002x41xx−211−−+xx=

2、limx→04x−110−021−+xx211⎯⎯→=lim−.x→0442注：110−→→xx()可求出λ梦飞翔考研工作室【详解3】采用()1+u的马克劳林展开式，此时余项用皮亚诺余项较简单.当u→0时λλλ(−1)22()11+=uuu++λ+o()u,2!所以x→0时梦飞翔考研工作室友情提供QQ：813216591998年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心11⎛⎞2211+=++−xxx⎜⎟+o()x,28⎝⎠11⎛⎞2211−=−+−xxx⎜⎟+o()x,28⎝⎠于是112211211+−+−−+xxxxo()x−22828原式=lim2x→

3、0x⎛⎞21ox()=−lim⎜⎟+2x→0⎜⎟4x⎝⎠1=−432（2）曲线yxxx=−++2与x轴所围成的图形的面积A=.37【答】.12⎛⎞15【详解】因为yy⎜⎟−=−,12()=,QQ：81321659⎝⎠28所以023232Ax=−−++∫∫(x22x)dxx+−++(xx)dx−104343⎛⎞xx2202⎛⎞xx=−−+⎜⎟xx

4、

5、⎜⎟−++⎝⎠43−10⎝⎠4337=12lnsinx（3）dx=.∫2sinx【答】−⋅−−cotxlnsinxxcotx+C.【详解】用分部积分法，有lnsinx2dx=−lnsinxd()cotx=−cotx⋅lnsinx+cotxdx∫

6、∫2∫梦飞翔考研工作室sinx2=−cotxx⋅lnsin+∫()cscx−1xdx=−cotxxx⋅lnsin−cot−+XCdx22（4）设f()x连续，则∫tfx()−tdt=.dx02【答】xfx().梦飞翔考研工作室友情提供QQ：813216591998年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心22【详解】令uxtd=−,2y=−tdt,2当t=0时，ux=;当tx=时，u=0；2ddxx2212故∫∫tfx()−=tdtfudu()=xfx()dx00dx2⎛⎞1（5）曲线yxe=+>ln⎜⎟()x0的渐进线方程为.⎝⎠x1【答】yx=+e【详

7、解】⎛⎞1xeln⎜⎟+⎝⎠x⎛⎞1ae==limlimln⎜⎟+=1,xx→+∞xx→+∞⎝⎠⎡⎛⎞1⎤by=−lim()axx=lim⎢ln⎜⎟e+−1⎥xx→+∞→+∞⎣⎝⎠x⎦⎛⎞1ln⎜⎟e+−1⎝⎠x11QQ：81321659lim==lim=xx→+∞11→+∞ee+xx1故此曲线的渐进线方程为yx=+.e二、选择题设数列x与y满足limxy=0,则下列断言正确的是nnnnn→∞（A）若x发散，则y必发散.nn（B）若x无界，则y必有界.nn（C）若x有界，则y必有无穷小.nn梦飞翔考研工作室1（D）若为无穷小，则y必为无穷小.nxn【】【答】应选（D）【详解】方法一：由极

8、限运算性质知梦飞翔考研工作室友情提供QQ：813216591998年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心1limyx=⋅lim()ylim=0,nnnnn→∞→∞n→∞xn所以（D）为正确选项.方法二：取数列y=0，排除（A）n若取数列⎧21knk−=−,21xkn==⎨()1,2,L⎩0,nk=2⎧0,nk=−21ykn==⎨()1,2,L⎩2,kn=2k便排除了（B）对于（C），若数列x=0，则y可为任意数列，所以（C）项也不正确.nn故应选（D）.（2）函数f()xxxxx=−−−(232)不可导点的个数是QQ：81321659（A）3.（B）1

9、.（C）2.（D）0.【】【答】应选（C）.【详解】因为23fx()=−−−=−+()xx22xxx()(x1)xx(−+1)(x1),可见f()x在x=0,1处不可导，而在x=−1处是可导的，故f()x的不可导点的个数为2.yx（3）已知函数yyx=()在任意点x处的增量y=+α,且当x→0时，α是x的21+x梦飞翔考研工作室高阶无穷小，y()0=π，则y()1等于ππ（A）πe4.（B）π.（C）e4.（D）2π【】【答