4、=limcr=a.A—0n(2)/(,)(Ic7=lim^Jixji)1n=Alimy/(^(,i7,)A(7-,=kf{x,y)Aa.A-°台?{!(3)因为函数/U，y)在闭区域/)上可积，故不论把￡?怎样分割，积分和的极限总是不变的.因此在分割D时,可以使和/)2的公共边界永远是一条分割线.这样fix.y)在AUD2上的积分和就等于&上的积分和加D2上的积分和，记为^/(^,,17,)A,=^/(^,,17,)ACT,+^/(^,,17,)A,.CTCT/)(,",l：)U0令所有的直径的最大值A-0,上式两端同时取极限，即得Jf(x,y)
5、ia=jjf(x,y)da+JJ/(xfy)da.p,un}V,n；4.试确定积分区域/)，使二重积分][(1-2x2-y2)d?ly达到最大值.SaI)解由二重积分的性质可知，当积分区域/＞包含了所有使被积函数1-2.v2-V2大于等于零的点，而不包含使被积函数1-2/-y2小于零的点，即当￡?是椭圆2/+y2=l所围的平面闭区域时，此二重积分的值达到最大.&5.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：(1)Ju+y)2山7与J[U，其中积分区域D是由x轴、^轴与直线A+.、=DI)1所围成；(2)J(x+7)2如与■，其中积分区域0是由圆周(
6、.r-2)2+(.v-l)2=t)n2所围成；(3)I'MA；+y)(lor与!"[In(X+y)]2(1(7，其中Z＞是三角形闭K域，三顶点分别为l)"(1，0)，(1，1)，(2,0);(4)Jpn(:r+y)dcr与In(:t+)]2fW，其中/)=
7、(.r,.v)
8、3，0彡、彡y1.i)i)解(1)在积分K域0上，故有(x+j)3^(x+y)2.根据二重积分的性质4，可得J(.r+y)lrx^J(.+v)0D(2)由于积分区域0位于半平面
9、(A:，V)
10、.V+?、彡11内，故在/)
11、:&(.f+y)2彡(A+y)3?从『("?J(v+＞
12、)：drr^jj(x+y)lfr.第十章重积分97(3)由于积分区域D位于条形区域1U，)
13、1彡1+7彡2丨内，故知区域/)上y的点满足0彡InU+y)彡1，从而有[lnU+y)]2彡lnU+.y).因此jj[ln(A:+y)]2(Jo-^+y)d(4)由于积分区域/)位于半平面丨(x，y)
14、.v+y彡e
15、内，故在Z)上有ln(x+y)彡1，2In(:c+)').因此从而：In(-v+)')]彡Jj^1n(.r+y)]2dcr^Jln(x+y)da.i)a36.利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1)/=
16、^7(文+7)心，其中/)=(x,y
17、)1,01
18、；n(2)/=j^^sin^do■，其中/)=j(:)
19、0^^^,0^y^1;sinA,yTTTTi)(3)/=J*(A：+y+l)d(7,其中/>={{x,y)
20、0^x^l,0^j^2[；it(4)/=J(x2+4y2+9)?，其中D=22^4
21、.dox+yI)解(1)在积分区域D上，0矣;<:矣1,0英y矣1,从而0矣巧?(*+y)矣?又￡?2的面积等于1,因此(2)在积分区域/)上，0矣sinJ:矣1,0^sin1，从而0彡sin2A：sin2y彡1，又0的面积等于TT2,W此(3)在积分K域"上有^x+y+?4,/)的而积等于2
22、,因此(4)W为在积分K域/>?上有0矣;t2+y2苳4,所以有9^+4r2+9^4(x+y)+9矣25.2234I)的酣
