4、/)上可积，故不论把£»怎样分割，积分和的极限总是不变的.因此在分割D时,可以使和/)2的公共边界永远是一条分割线.这样fix.y)在AUD2上的积分和就等于&上的积分和加D2上的积分和，记为^/(^,,17,)Act,=^/(^,,17,)Act,+^/(^,,17,)Act,./)(U0,",l)：令所有的直径的最大值A-0,上式两端同时取极限，即得Jf(x,y)ia=jjf(x,y)da+JJ/(xfy)da.p,un}V,n；Sa4.试确定积分区域/)，使二重积分][(1-2x2-y2)d«ly达到最大值.I)解由二重积分的性质可知，当积分区域/＞包含了所有使被积函数1-2
5、.v2-V2大于等于零的点，而不包含使被积函数1-2/-y2小于零的点，即当£»是椭圆2/+y2=l所围的平面闭区域时，此二重积分的值达到最大.&5.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：(1)Ju+y)2山7与J[U，其中积分区域D是由x轴、^轴与直线A+.、=DI)1所围成；(2)J(x+7)2如与■，其中积分区域0是由圆周(.r-2)2+(.v-l)2=t)n2所围成；(3)I'mA；+y)(lor与!"[In(X+y)]2(1(7，其中Z＞是三角形闭K域，三顶点分别为l)"(1，0)，(1，1)，(2,0);(4)Jpn(:r+y)dcr与In(:t+y)]2fW，其中/)
6、=
7、(.r,.v)
8、3，0彡、彡1.i)i)解(1)在积分K域0上，故有(x+j)3^(x+y)2.根据二重积分的性质4，可得J(.r+y)lrx^J(.+v)0D(2)由于积分区域0位于半平面
9、(a:，V)
10、.V+•、彡11内，故在/)
11、:&(.f+y)2彡(a+y)3•从『("•J(v+＞)：drr^jj(x+y)lfr.(2)由于积分区域D位于条形区域1U，y)
12、1彡1+7彡2丨内，故知区域/)上的点满足0彡InU+y)彡1，从而有[lnU+y)]2彡lnU+.y).因此jj[ln(a:+y)]2(Jo-^+y)d(3)由于积分区域/)位于半平面丨(x，y)
13、.v+y彡e
14、
15、内，故在Z)上有ln(x+y)彡1，从而：In(-v+)')]2彡In(:c+)').因此Jj^1n(.r+y)]2dcr^Jln(x+y)da.i)a36.利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1)/=
16、^7(文+7)心，其中/)=(x,y)1,01
17、；n(2)/=j^sin^sin^do■，其中/)=j(a:,y)
18、0^^^tt,0^y^tt1;i)(1)/=J*(A：+y+l)d(7,其中/>={{x,y)
19、0^x^l,0^j^2[；it(2)/=J(x2+4y2+9)do•，其中D={x,y)x2+y2^4
20、.I)解(1)在积分区域D上，0矣;<:矣1,0英y矣1,从
21、而0矣巧•(*+y)矣2•又£»的面积等于1,因此(2)在积分区域/)上，0矣sinj:矣1,0^sin1，从而0彡sin2A：sin2y彡1，又0的面积等于tt2,W此(2)在积分K域"上有^x+y+«4,/)的而积等于2,因此(3)W为在积分K域/>»上有0矣;t2+y2苳4,所以有9^+4r2+9^4(x2+y2)+9矣25.34I)的酣枳等于4tt，W此36tt^[[(x2+4/+9)(Ur^lOO-ir.二重积分的计算法.^1.计算下列二甩积
