高等数学同济第七版7版下册习题全解

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1、WORD格式-专业学习资料-可编辑第十章重积分95y2D2-1OiT-2图10-1数，故/,=Jj(x2+y1)3d(j=2jj(x2+y1)3dcr.fhi)i又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/+r2)3关于y是偶函数，故jj(x2+j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2.Dy1)：从而得/,=4/2.(2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix,-y)=-f(x,y),PJjf/(x,y)da=0；D如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/

2、(太，y)，则=0.D--学习资料分享----WORD格式-专业学习资料-可编辑?3.利用二重积分定义证明：--学习资料分享----WORD格式-专业学习资料-可编辑(1)jjda=(其中--学习资料分享----WORD格式-专业学习资料-可编辑(7为的面积)；--学习资料分享----WORD格式-专业学习资料-可编辑IJ--学习资料分享----WORD格式-专业学习资料-可编辑(2)JJ/c/(X,y)drr=Aj

3、y’(A:，y)do■(其中A：为常数)；--学习资料分享----WORD格式-专业学习资料-可编辑on--学习资料分享----WORD格式-专业学习

4、资料-可编辑(3)JJ/(x,y)clcr=JJ/(x,y)drr+jJ/(x,y)dcr,其中/)=/)!U/)2，，A为两个--学习资料分享----WORD格式-专业学习资料-可编辑I)blh--学习资料分享----WORD格式-专业学习资料-可编辑尤公共内点的WK域.证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得--学习资料分享----WORD格式-专业学习资料-可编辑n"--学习资料分享----WORD格式-专业学习资料-可编辑96一、《高等数学》(第七版)下册习题全解jj'ltr=Hmy^/(,rji)A

5、a.A—0n--学习资料分享----WORD格式-专业学习资料-可编辑(2)/(,)(Ic7=lim^Jixji)1n--学习资料分享----WORD格式-专业学习资料-可编辑=Alimy/(^(,i7,)A(7-,=kf{x,y)Aa.A-°台?{!(3)因为函数/U，y)在闭区域/)上可积，故不论把￡?怎样分割，积分和的极限总是不变的.因此在分割D时,可以使和/)2的公共边界永远是一条分割线.这样fix.y)在AUD2上的积分和就等于&上的积分和加D2上的积分和，记为^/(^,,17,)A,=^/(^,,17,)ACT,+^/(^,,17,)A,.CTCT/)(,",l：)U0令所有的

6、直径的最大值A-0,上式两端同时取极限，即得Jf(x,y)ia=jjf(x,y)da+JJ/(xfy)da.p,un}V,n；4.试确定积分区域/)，使二重积分][(1-2x2-y2)d?ly达到最大值.SaI)解由二重积分的性质可知，当积分区域/＞包含了所有使被积函数1-2.v2-V2大于等于零的点，而不包含使被积函数1-2/-y2小于零的点，即当￡?是椭圆2/+y2=l所围的平面闭区域时，此二重积分的值达到最大.&5.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：(1)Ju+y)2山7与J[U，其中积分区域D是由x轴、^轴与直线A+.、=DI)1所围成；(2)J(x+7)2如与■，其中积分区

7、域0是由圆周(.r-2)2+(.v-l)2=--学习资料分享----WORD格式-专业学习资料-可编辑t)n2所围成；(3)I'MA；+y)(lor与!"[In(X+y)]2(1(7，其中Z＞是三角形闭K域，三顶点分别为l)"(1，0)，(1，1)，(2,0);(4)Jpn(:r+y)dcr与In(:t+)]2fW，其中/)=

8、(.r,.v)

9、3，0彡、彡y1.i)i)解(1)在积分K域0上，故有(x+j)3^(x+y)2.根据二重积分的性质4，可得J(.r+y)lrx^J(.+v)0D(2)由于积分区域0位于半平面

10、(A:，V)

11、.V+?、彡11内，故在/)

12、:&(.f+y)2彡(A+

13、y)3?从『("?J(v+＞)：drr^jj(x+y)lfr.--学习资料分享----WORD格式-专业学习资料-可编辑第十章重积分97(3)由于积分区域D位于条形区域1U，)

14、1彡1+7彡2丨内，故知区域/)上y的点满足0彡InU+y)彡1，从而有[lnU+y)]2彡lnU+.y).因此jj[ln(A:+y)]2(Jo-^+y)d(4)由于积分区域/)位于半平面丨(x，y)

15、.v+y彡e

16、内，故在Z)上有