材料力学——第8章(平面弯曲杆件的应力与强度计算)

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1、§8-1纯弯曲时梁横截面上的正应力§8-2横力弯曲时梁横截面的应力§8-3梁的强度计算§8-4梁的合理强度设计1概念回顾:qF1.平面弯曲纵向对称面梁有纵向对称面，且载荷均作用在纵向对称面内，变形后梁的轴线仍在该平面内，称为平面弯曲。2FFM2.纯弯曲0aaFF=0F图F图SSSM=M0M图FaM图一般情况横力弯曲:若梁的横截面上既有弯矩，又有剪力。简单特例纯弯曲:梁横截面上的内力只有弯矩。3§8-1纯弯曲时梁横截面上的正应力方法：与求扭转杆横截面上的应力方法相同。变形的几何协调力与变形之关系力的平衡(几何分析)(物理关系)(静力关系)一、弯曲

2、变形几何分析（矩形截面纯弯曲梁）⒈弯曲变形实验现象4AA、BB仍保持直线，但相对地MMAB转过一角度d。aabbABaa缩短，bb伸长，变为弧形，但仍与AA、BB线正交。dMMABaa⒉弯曲的基本假设bbAB变形后平面假设梁的横截面在弯曲变形后仍保持为平面，且仍与梁的轴线垂直。5纵向材料之间无挤压假设MABM梁的纵向材料其变形是伸长或缩短；aabb为简单拉伸和压缩变形。AB凹部材料aa缩短，凸部bb材料伸长，d总有一层材料既不伸长又不缩短，此层MMAB称为中性层。aabbAB⒊推论：有中性层存在变形后中性轴中性层与横截面的交线称为

3、中性轴。中性层(面)6⒋变形几何关系d考虑梁AA-BB间的微段，oo在MM中性层上，ρ为中性层的曲率半ABoo径。截面坐标如图。yaa距中性层为y的纵向材料aa:AB变形前：aaoo变形后：aaydozlaaaa(y)ddya应变：elaady横截面上任一点处线应变e的大小与该点到中心层的距离y成正比。ey/7二、物理关系ey/基于：纵向材料受单向拉压；当应力小于比例极限时，根据胡克定律，则ydyaa横截面上各点的正应力σ的大小与该点到中性轴的距离y成正比。8中性轴上，

4、0max压z截面上、下缘，max。中性轴yxEeEyMddydymax拉问题：aa?9三、静力平衡关系在截面上取微面积dA，微内力为σdA。这些平行微内力可能组成dA中性轴z三个内力分量：yxFNdAMyzdAMzAydAyddyAAMdy由于纯弯曲时横截面上只有弯矩，于是有aaEyE中性轴为FNdAdAAydA0Sz0AA形心轴EyEMzdAzdAyzdA0I0y轴为对称yyzAAA轴EyEE2MydAydAy

5、dAIMzzAAA10EIMzdAz1M中性轴yEIxzyddy1Mdy式中：梁轴线变形后的曲率aayEEI梁的弯曲刚度z纯弯曲梁yMMy的正应力EEyEIIzz公式11MyIz注意：应用上式时，可先取M、y的绝对值代入。aaσ的正负判断如下：以中性层为界，梁凸出的一侧是受拉，凹入的一侧受压。12§8-2横力弯曲时梁横截面上的应力一、横力弯曲时梁横截面上的正应力My纯弯曲梁横截面上内力只有弯矩Iz横力弯曲梁横截面上内力有弯矩和剪力aa根据弹性力学的分析结果表明：lMy5的细

6、长梁，用公式计算横力弯曲时hIz的正应力，可以满足工程所需的精度13MyIz弯矩截面上的最大正应力截面的形状对于等直杆，aa当中性轴是横截面的对称轴时，最大正应力发生在弯矩最大的截面上下边缘处。MmaxymaxIz弯曲截面系max令Wz数（m3,mm3)IymaxzMmax则maxW14z2bh33WDD4zWW(1)6zz3232aa当中性轴不是截面对称轴时，最大拉应y2力和最大压应力数值不相同z正弯矩作用下：y1MyMy12ytmaxcmaxIIZZ15[例8-1]受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求

7、：⑴1—1截面上1、2两点的正应力；⑵此截面上的最大正应力；⑶全梁的最大正应力；⑷已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半径。1q=60kN/mAB1m2m13012z18012016y1q=60kN/m解：⑴求支座约束力，作M图。FRAFRB90kNABF从M图可知：RA1m2mFRB12qLxqxM()60kNm1x1M图22aa+22MqL/8603/867.5kNmmax2qL8MM1max171q=60kN/m⑵求应力33bh1201801254ABI105.83210mz1212FRA1m2mF

8、hRB43WI/6.4810m1zz2MyM图112aaIz+606051061.7MPaqL25.832308MM121ma