资源描述：
《一种有效的广义特征值分析方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第24卷第4期固体力学学报Vol.24No.42003年 12月ACTAMECHANICASOLIDASINICADecember2003X一种有效的广义特征值分析方法刘寒冰 龚国庆 刘建设(吉林大学南岭校区交通学院,长春,130025)摘 要 提出了一种适合于自适应有限元分析中求解广义特征值问题的多重网格方法.这种方法充分利用了初始网格下的结果,通过插值或最小二乘拟合技术来得到网格变化后的新的近似特征向量,然后由多重网格迭代过程实现对结构广义特征值问题的求解.在多重网格迭代的光滑步中,选择了收敛梯度法
2、以提高其收敛率;在粗网格校正步中,则导出了一种近似求解特征向量误差的方程.这种方法将网格离散过程和数值求解过程很好地相结合,建立了一个网格细分后广义特征值问题的快速重分析方法,与传统有限元方法相比较,具有计算简便、计算量少等特点,可以作为结构动力问题自适应有限元分析的一种十分有效的工具.关键词 多重网格迭代,广义特征值问题,自适应有限元0 引言用自适应有限元方法分析结构动力问题时,有限元网格经常会发生变化,若用传统的有限元方法(如子空间迭代法)去分析自适应过程则存在一定的缺陷,因为传统的有限元方法包含的两个
3、过程(即离散过程和数值求解过程)是相互独立的,两者无相互作用,这就造成了很大的浪费:(1)没有充分利用初始网格下的结果;(2)当网格逐步加密时,传统有限元方法的计算量会很快增大,当网格很多,自由度数很大时,计算量会更大,但收敛效果不一定好,这种缺陷对于动力问题会更明显.尽管目前对于特征值问题发展了一些有效的算法,如[1,2][3]Lanczos方法、Arnoldi方法等,以上的缺陷仍然存在.多重网格方法则弥补了传统有限元方法之不足,它将离散过程和数值求解过程相结合,利用初始网格下的结果,通过多重网格迭代,可
4、以达到简化计算过程,节省计算量的目的.目前,多重网格技术已经发展到了可以应用于实际工程问题,商用软件也已出现,线性和非线性多重网格求解器建立了高效的求解偏微分方程的方法.用多重网格方法求解特征值问题也引起了广泛的关注.下面回顾一下多重网格技术在特征值问题方面的研究状况.传统的多重网格方法求解特征值问题是将此问题转换成非线性问题,然后利用非线性[4]多重网格求解器,如“全近似方法”(fullapproximationscheme)进行求解.这种求解器应用于[5,6]非线性问题通常是有效的,但对于线性特征值问题
5、,这种技术未必总是有效的,因为它没有充分利用特征值问题的一些特性,而且,非线性多重网格特征求解器通常要对特征簇进行特殊的处理,这又进一步使程序复杂化了.此外,此技术的另一个缺陷就是对粗网格解的近似程度要求较高.X国家自然科学基金(19872029)资助.2002203205收到第1稿,2002205217收到修改稿. 固体力学学报 ·420·2003年第24卷第二种比较流行的方法是采用一个外部特征值求解器,如Rayleigh迭代(RQI),它要求[
6、7]解一个移位的刚度矩阵构成的线性方程组,而多重网格迭代则作为一个内部迭代求解器,从而构成一个内2外迭代过程.使用移位的刚度矩阵的目的主要是使外部迭代过程具有快的[8]收敛性,但要注意的是,由多重网格迭代求解的线性方程组有时几乎是奇异的.与此类似的技术如经典的逆迭代(通常是逆子空间迭代)作为外部求解器,而多重网格迭代仍作为内[9]部迭代求解器.这种逆迭代技术的收敛性要比上面提到的移位的迭代法的收敛性要慢,但不会遇到求解近乎奇异的线性方程组的麻烦.[10～12]第三种目前有些学者研究得较多的一类方法叫做“多重
7、网格预条件梯度法”.“预条件”是一种改进矩阵条件数的技术.这类方法一个最明显的特征是,它不包含内2外迭代两个过程,多重网格迭代仅作为一个“预条件器”(preconditioner),它既不是一个完整的线性求解器,也不是一个特征求解器.这类方法中较有前景的一种方法叫做“局部优化预条件收敛[13,14]梯度法”.与之类似的方法还有,预条件最速下降法、预条件逆迭代法、预条件子空间迭[15]代法,等等.本文将提出一种基于插值或最小二乘拟合技术的多重网格方法,并通过收敛梯度法来改善多重网格迭代的收敛性,目的在于建立一
8、个网格细分后的快速重分析方法,即从初始解得到重新划分网格后的结构特征值的简便算法.通过数值算例与传统的广义特征值求解方法(如子空间迭代法)所得到的结果进行了比较,说明了该方法的有效性和实用性.1 理论推导在进行有限元动力分析时,首先通过有限元方法建立结构粗网格下运动微分方程[M]{¨u}+[C]{Ûu}+[K]{u}={F(s,t)}(1)这里,[M]是系统质量矩阵,[C]是粘性阻尼矩阵,[K]是刚度矩阵,{F(
