有限变形下的等效应力和等效应变问题

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1、万方数据应用数学和力学，第25卷第5期(2004年5月)AppliedMathematicsandMechanics应用数学和力学编委会编重庆出版社出版文章编号：1000．0887(2004)05—0542—09有限变形下的等效应力和等效应变问题。周拮，秦伶俐，黄文彬，王红卫(中国农业大学应用力学研究所，北京100083)(沈亚鹏推荐)摘要：重点讨论了在有限变形条件下，弹塑性理论中的等效应力、等效应变是否仍然成立．选择了平面应力和平面应变下的单向压缩应力状态，对这一问题进行了探讨．在这两种应力状态下，在众多的应力应变描述中，对数应变与旋转Kir

2、chhoff应力得到的应力应变曲线与实验数据符合良好．关键词：有限变形；塑性本构；等效应力；等效应变；体积不可压缩中图分类号：0344文献标识码：A引言小变形塑性理论的一个最成功的简化就是等效应力、等效应变的概念，将一个六维问题简化为一个一维问题，然而等效应力、等效应变的思想在有限变形条件下还是否成立?这正是本文所要关注的问题．在有限变形情况下，应力应变的描述是多种多样的，选用什么应力应变对直接影响材料参数的选择以及计算可否收敛．黄文彬等对这一问题进行了探讨[卜3

3、．在研究有限变形的塑性理论中，人们更多的关注弹性变形与塑性变形如何分离、在塑性本

4、构中如何消除刚体转动的影响，而对有限变形下等效应力、等效应变的概念还是否成立关注不够，在涉及有限变形塑性有限元方法的文献中，等效应力、等效应变的概念被广泛采用．例如：研究塑性损伤的Gerson模型[4

5、，孔洞的扩展和融合[5]5，界面的开裂[6]以及金属基复合材料宏观性质等问题的文献中．由于在有限变形中，应力、应变都有多种定义形式，是不是对所有的应力应变对Mises等效都成立．本文选择了平面应力状态和平面应变状态下的单向压缩，在这两种应力状态下，研究了小变形的应力应变及有限变形下的三种常用的应力应变对，比较其等效曲线符合的程度．整个研究遵循以下

6、思路：做单向压缩实验，得到压缩曲线，对于不同的应力应变对，根据等效应力、等效应变的思想，预测侧向变形受约束时，压缩实验应满足的曲线，与实验数据进行比较，满足好的应力应变对就是等效应力、等效应变符合好的．由于变形都比较大，弹性变形可以忽略，本文采用刚塑性模型．*收稿日期：2002．10-25；修订日期：2003．12．18作者简介：周黼(196卜)，女，湖南人，副教授，博士(联系人．Tel：4-86-10-62336514(o)；Fax：+86-10-62336777；E-mail：fern@ea．tt．edu．cn)．542万方数据周拮秦伶俐黄

7、文彬王红卫5431压缩实验我们用P1表示单向压缩时的名义应力，定义为Pl=Pl／Ao，瓦l表示长度方向的相对缩短，定义为豇l=一Al／lo，其中P1为轴向压力，Ao、Zo分别为初始截面面积和初始长度，P1与瓦1的关系可由实验测得，由于西l趋向于1时，P1应趋向无穷大，所以用下式对实验曲线进行拟合Pl：r七(o+6_?)，(1)2Fi(o+6M‘f)，(1’其中：a=13．692MPa，b=3．535MPa，n=0．45524，实验数据和拟合曲线符合很好，如图1所示．正在此基础上，我们又进行了一个方向变形受鼍约束的压缩实验，用P2表示此时的名义应

8、力，瓦2表示此时的长度方向的相对缩短，测得实验数据也表示在图1中．如果等效应力、等效应变的思想成立，两个实验应该具有相同的等效应力应变曲线，等效应力、等效应变的定义式分别如下：圈1实验数据及拟合曲线厅：冉五i万百jii万i石丽，舌：号冉而i万iiiiij石丽．(2)(3)由此我们可以由压缩曲线(1)推得侧向约束时，压缩的预测曲线，比较预测曲线与图1的实验数据是否符合，从而判断等效应力、等效应变的思想是否成立．2给定应力状态下应力应变的定义在小变形时，应力应变的定义是唯一的，但在有限变形时则是多种多样的，一般认为，在本构关系中选用什么应力应变对都

9、是可以的，但在塑性理论中，由于等效应力、等效应变的采用，所以应力应变并不可以任意选择，也就是说，并非对所有的应力应变对等效应力等效应变的思想都成立，本文就是要对这一问题进行讨论．2．1单向压缩应力状态首先我们给出几种最常用的应力应变在单向压缩应力状态下的表达式，A0、Zo分别为初始截面面积和初始长度，A、Z分别为现实截面面积和现实长度，则：(I)名义应力(小变形应力)、名义应变(小变形应变)：iPlO'xO，Ex0：毕．(4)。瓦’21■。(4，(Ⅱ)Eular应力、Almansi应变％：导^。：等．(5)吼l2百，ezl2可‘(5，(Ⅲ)Ki

10、rchhoff应力、Green应变10Plz2一聒⋯嘞2了瓦’ez221万‘(6)(IV)旋转Kirehhoff应力、对数应变⋯鲁^，“古．吼3。百，