第9讲 等效应力及等效应变

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1、2021/6/111全量理论全量理论建立了全应变与应力的关系。其中比较有影响的是Hencky小变形理论。2021/6/112加载条件简单加载在加载过程中，应力张量各分量按同样的比例增加，也称为比例加载。即。例：已知，，则简单加载的特点：加载过程中，应力主轴不动。复杂加载：加载过程中各应力分量之间无规律可循。2021/6/113Hencky小变形理论基本观点应力与应变的位向关系塑性应变主轴与应力主轴一致。应力与应变的分配关系在任意加载瞬间，塑性应变各分量与该瞬时相应的各偏差应力分量成比例，小变形考虑弹性变形。2021/6/114数学表达式或2021/6/115总的变形2021/6/116小变形理

2、论用于大变形对于大塑性变形，材料为刚塑性材料，采用简单加载条件，此时应力与应变主轴在加载过程中不变，并用对数变形计算主应变。相应的应力应变关系广义全量表达式为2021/6/117或取主轴时：2021/6/118因此2021/6/1199等效应力、等效应变把ss看成经过某一变形程度下的单向应力状态的屈服极限,则可称ss为变形抗力。ABCDe如图所示，拉伸变形到C点，然后卸载到D点，如果再在同方向上拉伸，便近似认为在原来开始卸载时所对应的应力附近（即点C处）发生屈服。这一屈服应力比退火状态的初始屈服应力提高，是由于金属加工硬化的结果。所以在单向拉伸的情况下，不论对初始屈服应力还是变形过程中的继续屈

3、服极限，统称为金属变形抗力（抵抗金属变形的力）。sssc2021/6/1110等效应力ss是单向拉伸的情况下得到的，等于s1。那么对于复杂应力状态，ss与s1s2s3又有何种关系？2021/6/1111由Mises屈服条件可以改写为2021/6/1112若令则金属屈服时有则为等效应力，把变形体所受的6个应力分量等效于一个单向拉伸时应力。se2021/6/1113对于单向拉伸时，金属处于弹性状态时，金属进入塑性状态同样，复杂应力状态时，时，金属处于弹性状态时，金属进入塑性状态2021/6/1114在一般应力状态下，等效应力为当材料屈服时有其中ss，为单向应力状态下获得的屈服极限2021/6/11

4、15此式表示的应变增量就是主轴时的等效应变增量，非主轴等效应变增量如下：2021/6/1116比例加载时，即采用全量理论为等效应变2021/6/1117由Levy—Mises流动法则（增量理论），代入2021/6/1118得到或此式即为等效应变增量与等效应力的关系则Levy—Mises流动法则可以写成2021/6/1119同理在塑性大变形时，等效应变与等效应力关系：或2021/6/1120这样，由于引入等效应变与等效应力，则本构方程中的比例系数便可以确定，从而也就可以求出应变增量的具体数值。2021/6/1121变形抗力曲线不论是一般应力状态还是简单应力状态作出的曲线，此曲线也叫变形抗力曲线或

5、加工硬化曲线，或真应力曲线。目前常用以下四种简单应力状态的试验来做金属变形抗力曲线。等效应变与等效应力的意义在于，等效应力将6个应力分量的对变形体的作用，等效于一个单向拉伸力的作用。而等效应变将6个应变分量，等效于一个单向拉伸力所产生的应变。利用实验，就可以直接建立等效应变与等效应力的数值关系。2021/6/1122单向拉伸2021/6/1123单向压缩可见单向应力状态等效应力等于金属变形抗力；等效应变等于绝对值最大主应变。2021/6/1124薄壁管扭转2021/6/1125单向拉伸实验所得应力应变关系常有如下几种：试验所得的真实应力—应变曲线一般都不是简单的函数关系。为了实际应用，常希望将

6、此曲线描绘成一函数。根据对真实应力—应变的曲线的研究，可将它归纳成2种类型：在变形过程中由于加工硬化的结果，随着变形程度的增大，变形抗力增大。一般可采用下述关系式来确定（幂指数硬化曲线）。B——强化系数，与材料有关的常数n——硬化指数，2021/6/11262021/6/1127(2)对于有初始屈服应力的冷变形金属材料，可较好地表达为这里略去了弹性变形阶段，因为对大变形来说，略去弹性交形，不影响其准确性。式中的B、n两参数根据实验曲线求出。2021/6/1128已知一点的应力分量为:求:（1）等效应力σe值；（2）若该点处于塑性状态，利用全量理论，求解