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1、《数值分析》实验报告姓名学号日期实验室设备编号实验题目用松弛法解方程组一实验目的1•熟悉松弛法及高斯-赛徳尔方法求解非线性方程根的数值算法。2.加深对松弛法以及高斯-赛徳尔方法的理解。二实验内容1.用松弛法求下方程组解,精确到IO"O4兀
2、一2x2-兀3=°v—2兀］+4x)—2兀3=~2-%,-2x2+3兀3=3(1)跟G・S作比较(2)进一步考虑如何求最佳的W?(%1)松弛法的基木思想：设Ax二b,A二I-B,x二Bx+b,A+B二I,那么简单迭代：二Bx⑹+b剩余向量:r⑹=b-Ax'),b=AxW+r⑹x(如)二Bx⑹+Ax(
3、*)+r(k)=(A+B)x⑷+r⑷得到x二x+r。因此，作一次迭代相当于在第k次近似解的基础上，用剩余量进行修正。或许在修正项前乘一个因子，会使迭代收敛的快一些。x(如)二x⑷+w(b-Ax⑹)=(I-wA)x⑹+wb其屮迭代阵为I-wAo(%1)稈序代码：%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%松弛法％%Sor.m%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%A二[4-2-l;-24-2;-l-23];B=[0-23];f=l;%f=l.
4、1,1.03,0.95formatlong;iff>=2error('ASORfactermustbeoppsitiveandlessthan2.');enclEr_user=5e-6;N=10;[m,n]二size(A);[mm,rm]二size(B);ifm二nerror(，Aisnotasquarematrix.5);endifm=mmerror(，TherowofBdidnotmatchthecolumnofA');endX=zeros(n,1);k=l;whilek<=NXk二X;fori=l:nforj=l:nAX(j)=
5、A(i,j)*X(j);endSum_AX=sum(AX);AX二0;X(i)二X(i)+f*(B(i)-Sum_AX)/A(i,i);endEr=max(abs(Xk-X));ifEr>0.7161900.6743661.68830711%%f=1.03时：X、k的值0.7406770.7036751.71758811%%f=1.1tf'j'：x^k的值>>0・79594710.7693651.782725
6、11%%f=0.95时：X、k的值>>0.6745530.6242831.63800411（三）.结果分析根据AX=B,A=[4-2-1;-24-2;-1-23]；B=[0；-2;3]；可求出精确解为X*=[1；1；2]o根据不同的松弛因子，得到了不同的结果。高斯-赛徳尔迭代方法：在雅可比迭代屮，求x"⑷时是用厂的所有分量来参加计算的，而在计算亡“）的y（K+1）Y（K+1）第i个分量习时,已经计算好前面i-l个分量勺（j二1,2,……,i-l）.设想方法收敛，第（K+1）次的分量比笫K次的分最更接近于真实解，为了加速收敛,在计算严）
7、的（K）y（K+1）第i个分量时，所用的X的前i-l个分量换成新算好的值，即用山，（K+）JK+I）（K）（K）勺,."-1…山，……，儿来计算，这就是赛徳尔迭代的思想，而在雅可比方法基础上用赛徳尔迭代，称为高斯-赛徳尔方法。高斯-赛徳尔算法：1)inputn,A,b,£,N2)x[i]<-0(i=l,2,…….，n)3)k<-14)while(k<=N)do(5~11)5)err<-06)fori二1ton,do(7~9)7)XI«一x[i]工A[i,j]*町])/4g]8)x[i]<-(b[i]-用)9)if(err<
8、XI-x
9、[i]
10、)thenerr=XI~x[i]10)if(errl时，称为超松弛方法；当v
