定积分解题方法指要

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1、万方数据第19卷2006定第1期潍坊教育学院学报JOURNALOFWEIFANGEDUCAllONAJ．COU正GEv01．19No．1Mar．2006定积分解题方法指要巨泽旺龚利森(潍坊教育学院财经系，山东青州262500)摘要：本文旨在通过对定积分解题方法的探讨，达到更进一步提高“高职”学员学习《高等数学》的学习兴趣和积极性，更好掌握《高等数学》基本知识，提高解题能力，从而增强分析问题解决问题的能力．关键词：“高职”教育；数学；定积分中图分类号：0172．2文献标识码：B文章编号：1009—2080(2006)01—0027—04高职

2、教育的教学任务就是为地方经济建设和社的定义求定积分通常也包括分割、作乘积、求和、取极会发展培养高级应用型人才，《高等数学》课也正是旨限四个步骤．在培养和提高学生的知识水平和分析问题解决问题例1：由定义计算定积分l1xz出的能力．《高等数学》作为一门基础课，它高度抽象，体解：被积函数厂(石)：X2在区间[0，1]上连续，所系严谨，论证精确，应用广泛，许多领域都离不开高等以函数“菇)：戈2在区间[o，1]上可积．为了方便起数学'一“"一lCl，高等数学知识在某种程度上就象高楼大厦见，把区间[O，1]等分成n等分，分点为警蓍罴冀窨娶耋。鼍篓黧翟

3、2恐薹铲吣‘1m勺2⋯埔，ii-1m了i可不学．但近几年来，由于受我国大学扩大招生的影。‘n‘nHn响和为了维持一定的办学规模、避免教育资源的闲⋯‰=詈=I，置，大学的录取分数不得不降，导致学生基础参差不每个子区间的长度都是厶产{，在每个子区间齐，高低分差距加大．另外由于各个学生的先天素质、[_，』]上都取右端点为邑，即毛：{，于是和式为教育影响和主观努力程度的不同，同一个班级的学生n“。．11272—21在学习上存在着明显的差异，这就给高等数学的教学邵毫)厶f-荟_L／／,’专2(去+吾+⋯+寺+⋯+寺)吉带来了一定的难度．为了增强高职

4、学生学习高等数学．．：，了1n(n+1)(2n+1)的兴趣，我们采取因材施教的分层教学方法，在教学=丛竺j≯』』=鱼——i广中将高等数学的主要内容按问题分类，通过引例，归=i1(1+{)(2+{)纳总结各类问题的解题规律、方法和技巧，不断增强当A：，麟{厶i}一o+时，即n一+。有学生分析问题、解决问题和考试的能力．以下便是我f1．，们在为学生讲授定积分解题方法时的总结，在此与大Jo#dx。』?。邵￡)厶产，熙言(1+寺)‘2+寺’2言家商榷．2利用定积分的几何意义计算定积分l利用定积分的定义计算定积分连续函数f(x)在区间[口，6]上的

5、定积分Jb／(戈)定积分的概念是由曲边梯形面积、变速直线运动。n的路程以及变力做功等具体事物的数量关系加以概dx的值，在几何上表示曲线y。八x)及直线戈=。，括而得到的。在分析解决这些实际问题时经历了四菇=b，菇轴所围成的图形各个部分面积的代数和，即个主要步骤，即：分割、近似、求和、取极限．用定积分在石轴上方的面积取正号，茄轴下方的面积取负号·收稿日期：加嘶—0p-25作者简介：巨泽旺(1963。)，男(汉族)，山东青州人，潍坊教育学院财经系党支部书记，副教授．27万方数据垄堂生箜!塑垦竖旺垄型盎；定塑佥鲤壁友洼堂翼例2：计算f2√F了d

6、】【。0解：作出Y=~／4一f在o≤x≤2的图像，显然这是中心在原点，半径为2的圆面的四分之一．由定积分的几何意义可知j。2府出=百1丌22=耳注：该题用其它方法也能解决，但要比这种方法繁琐，详见例5．3利用牛顿一莱布尼兹公式计算定积分设函数八戈)在区间[a，b]上连续，F(x)是f(x)的一个原函数，那么Jf(x)dx=[F(x)]：=F(b)一F(a)这个公式称为微积分基本公式或牛顿一莱布尼兹公式．例3：计算定积分J1i忑101jd)【。+e“解：e南ax：』：南ax：』：警半=[In(e。+1)]6=In(e1+1)一In(eo+1

7、)：／n(e+1)一ln2：In掣4利用换元法计算定积分f】n8一例4：计算定积分J√l+e。也解：．／爪~f-1+ex=￡，则石=In(乒1)，也=尚出，当戈=ln3时，t=2，戈=ln8时，t=3．·．』厂-f+ex&：』：3雨2t2出：2』3：(-+南)出=2卜+吉kI罱l】：=2+In丢例5：用换元法解决例2解：设戈=2sint，则如=2c06tdt，当菇=o时，江0，菇=2It寸，f=号·．·．J。2一出：厚周2eos础：Ji。COS2tdt：2厂02(1+cos2t，出=2【t+lsin2t】：=丌显然与例2解法比较该种解法比

8、较繁琐．另外应用定积分的换元法还可把某凿原函数不能用初等函数表不的连绥函数的定积分计算出来：例6：求证设函数八戈)为连续函数，则e砜sin菇)出=号e八sin菇)如并用这个结果计算e焘出解：设