多元函数的一阶偏导数的算法技巧

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1、妲私棠艚希Vo4．No1SCIENCEFANS教育教学1多元函数的一阶偏导数的算法技巧夏滨(四川建筑职业技术学院四川I德阳618000)摘要：本文主要通过一些典型例题对多元函数的一阶偏导数的算法进行了一些探讨关键词：多元函数：偏导数：复合函数【中图分类号】G633．66【文献标识码】A【文章编号】1671—8437(2012)01—0015-02定义：设函数z=f(x，y)在点(XOY。)的某一邻域内有定义，则；：+。运用上述定理可对多元复合函数z=f(x，y)在点Xo,Y。)处关于x、Y的偏导数为等dV△0函幽数，烈的偏佣善哥数烈进行1]¨丌算鼻。元以上多函，偏数的计

2、算也是多元函数微分，；解：堕元以上的多元函数的偏导数，偏导数的计算也是多元函数微分dx’ay’：Ox=一0uOx一+’熹ax=一F，(u)2x+1：～2“xFtu)t，i学中的一个重要问题，笔者对多元函数的一阶偏导数的算法做OzOfOU：一__2yF'(u)中的一个看作变量，而把其余所有变量看作常数，然后利用一元解：=Of+誓+=2e(y+z)+e。s+e(一2sinx)例1：求下列函数的一阶偏导数e(2y+2z一2y)：若函数z=f(x，y)在点(x，y)处可微，则函数z=f(x，y)在点(x，y)处解：1)u)【=yuy-y(X)号(ey=x~y(yZlnx)=xy

3、zinx的全微分为d：dx+dy，这个微分形式具有不变性，即当uz=吾(x)砉(e=x鲁(yqnx)：xnyn{?‘s，：时，前式也正确。类似地可蕹广到三元及三元以上的函21t1x=■x+y【x·．1．／＼2(x-y)一x‘+V数姒。。利／ru用用全±微l耿分形式不／l、变兑性I土求小偏哪导寸数姒，，同IHJ时u可“J求水得1哥对^u自日变量里的廿所lIx—y』有一阶偏导数，不必分别求之。因此对于需求多个自变量的一阶同理可得：u=丢偏导数的计算，常用此法求之。Y‘v‘--,j函数的一阶偏导数1)，u：ec。sv—sifv，1例5：设u=f(x，y，z)，y‘P(x，1)

4、，=(X，z)，其中‘P，都可微；试例2：求下列求J_0：[c。s一c。s(,o911-0：一1一丌利用全微分形式不变性，dOu一，OU；=[-e~siny-xcos(一---y．atd，tl=兰一：dx十—fdizx冲“(1)师2u=x2+(y2-1)ta“、／一，求ux，’解：·u{：V：=。1T=exc。sy—yc。s(xy{LV一=。耵：一一盯du＼2／由，’——微分形式不变性，得：d：告d+争yd+u，f-．-fx=Ody=~dx+dt(3v{=『一esiny—xcos(xy)]{=0Ox⋯Ot⋯～2)由于-2x+㈣：、．——_2x+jdz(4)Vyx／x2、

5、／22、／xy将(4)代人(3)式，再将(3)式代人(2)式有du：_Ofdx+_Of一--Vy二、．利用多元复合函数的求导；法去贝则lI求之(＼Oxdx+Otdt)／+。一Ozf⋯(＼堕Ox+堕Oy誓孤+堕Oy盟Ot盟Ox)／d⋯x+‘Of定理：设函数u：‘P(x，y)，v=(x，y)在点(x，y)处有偏导数，而函(Of+1(5)-d,31y)】在点(X’y)处有偏导数，在，并且：Ou+将(5)式与(1)式比较，即得=Of+等+等A”yOXuuox下转17页万方数据超鲎Vo4．No1SCIENCEFANS教育教学1数学应用1班实验报告统计表从以上数字可以看出：实验班与

6、对照班的数学基础是一致的。经过实验教学后，对实验班、对照班的期末数学成绩进行独髓意糯i举麟棒l静I鲁瓤《枯立的Z检验，来判断数学教学软件对学生的数学能力有无提高t赣能霹I解凝撼l}撕釉奄I$lIl·n从期末数学成绩方面说明：数学教学软件辅助教学对学生的思骗5}Il，}龆摊维能力有明显提高。这主要归功于解析几何是一门实验性的归枇匠l拇{耋{甓$镛辨螗lI2i2I71L4~纳科学，是美学思想在数学领域的成功运用，有其逻辑严谨性、总体来说．学生能初步掌握和运用数学软件对解析几何问直观性和与变化多样性。综上，数学教育软件辅助解析几何教学能优化课程教学结题进行探求，但有待提高。实

7、验前和实验后所测得的学生成绩如构，提高教学效率，提升教学效果，培养了学生使用现代手段的下：数学工具f数学软件1的能力。数学软件应用于作为基础课程的解析几何教学，对于专业课的教学起到了具体的启示与指导作用．也为后续数学实验选修类课程的学习奠定了良好的基础。上摄15贞所以x熹+等+z鲁x2丽+y2+z2=r：堕0x0z0x0t0z0z五、用代入法求之如果多元复合函数是具体函数，有时先行代人，去掉复合层例6：设u：f(，})，f具有连续偏导数，求du；即去掉中间变量，再进行计算，会使计算简化。其次，在求函数对解：du=)d(卫VZ)=卫孥V—学