《初等数论(闵嗣鹤)》课后习题解答2012修改版.pdf

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1、《初等数论》习题解答（修改版）（茂名学院WeiXLI）第一章整数的可除性§1整除的概念·带余除法1．证明定理3定理3若aa，a，，都是m得倍数，qq，q，，是任意n个整数，则12n12nqaqaqa是m得倍数．1122nn证明：aa,,a都是m的倍数。12n存在n个整数pp,,p使apma,,,pmapm12n1122nn又qq,,,q是任意n个整数12nqaqaqa1122nnqpmqpmqpm1122nn()pqqpqpm1122nn即qaqaqa是m的整数

2、1122nn2．证明3

3、(nn1)(2n1)证明nn(1)(2n1)nn(1)(n2n1)nn(1)(n2)(n1)(nn1)又nn(1)(n2)，(n1)(nn2)是连续的三个整数故3

4、(nn1)(n2),3

5、(n1)(nn1)3

6、(nn1)(n2)(n1)(nn1)从而可知3

7、(nn1)(2n1)3．若axby是形如axby（x，y是任意整数，a，b是两不全为零的整数）的数中最小00整数，则(axby)

8、(axby)．001/63《

9、初等数论》习题解答（修改版）（茂名学院WeiXLI）证：ab,不全为0在整数集合Saxbyxy

10、,Z中存在正整数，因而有形如axby的最小整数axby00xy,Z，由带余除法有axby()axbyqr,0raxby0000则r()xxqa()yyqbS，由axby是S中的最小整数知r00000axbyaxby

11、00axbyaxby

12、（xy,为任意整数）axbyaax

13、,

14、byb000000axby

15、(,).ab又有(,)

16、aba(,)

17、a

18、bb00，(,)

19、abaxby故axby(,)ab00004．若a，b是任意二整数，且b0，证明：存在两个整数s，t使得

20、

21、babst,

22、

23、t2成立，并且当b是奇数时，s，t是唯一存在的．当b是偶数时结果如何？33bbbb证：作序列,,bb,,0,,,,则a必在此序列的某两项之间2222qq1即存在一个整数q，使bab成立22qq()i当q为偶数时，若b0.则令s,tabsab，则有22qqqb0abstababbt2222qqb若b0则令s

24、,tabsab，则同样有t222qq11()ii当q为奇数时，若b0则令s,tabsab，则有222/63《初等数论》习题解答（修改版）（茂名学院WeiXLI）bbqq11tabsabab0t2222qq11b若b0，则令s,tabsab，则同样有t综上所述，存在性222，得证．下证唯一性当b为奇数时，设abstbst则ttbs()sb1111bb而tttt,ttb矛盾故sstt,1111122b当

25、b为偶数时，st,不唯一，举例如下：此时为整数2bbbbb3b1b2(),t,t1122222§2最大公因数与辗转相除法1．证明推论4.1推论4.1a，b的公因数与（a，b）的因数相同．证：设d是a，b的任一公因数，d

26、a，d

27、b由带余除法abqrb,11rqr,,r122n2rqrr,n11nnnrq,nn10rrrrbn1nn11(,)abrnd

28、abqr，d

29、brqr，┄,d

30、rrqr(,)ab,11122n

31、21nnn即d是(,)ab的因数。3/63《初等数论》习题解答（修改版）（茂名学院WeiXLI）反过来(,)ab

32、a且(,)ab

33、b，若dab

34、(,),则dadb

35、,

36、，所以(,)ab的因数都是ab,的公因数，从而ab,的公因数与(,)ab的因数相同。2．证明：见本书P2，P3第3题证明。3．应用§1习题4证明任意两整数的最大公因数存在，并说明其求法，试用你的所说的求法及辗转相除法实际算出（76501，9719）．解：有§1习题4知：babZb,,0,st,,Z使abstt

37、,

38、

39、。，2

40、

41、tbst,，使bsttt,

42、

43、,,如此类推知：11111222stt,,;tstnnn21nnns,t,;ttstn1n1n1nn1n1

44、tt

45、

46、

47、

48、

49、tb

50、

51、nn12且

52、

53、tn21nn2222而b是一个有限数，nN,使t0n1(,)(,)(,)(,)abbttttt(,tt)(,0)tt，存在其求法为：112nn1nn(,)(