《初等数论(闵嗣鹤、严士健)》习题解答2012完整版[1]

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1、《初等数论》习题解答(修改版)(茂名学院WeiXLI)第一章整数的可除性§1整除的概念·带余除法1.证明定理3定理3若都是得倍数,是任意n个整数,则是得倍数.证明:都是的倍数。存在个整数使又是任意个整数即是的整数2.证明证明又,是连续的三个整数故从而可知3.若是形如(x,y是任意整数,a,b是两不全为零的整数)的数中最小整数,则.78/78《初等数论》习题解答(修改版)(茂名学院WeiXLI)证:不全为在整数集合中存在正整数,因而有形如的最小整数,由带余除法有则,由是中的最小整数知(为任意整数)又有,故4.若a,b是任意二整数,且,证明:存在两个整

2、数s,t使得成立,并且当b是奇数时,s,t是唯一存在的.当b是偶数时结果如何?证:作序列则必在此序列的某两项之间即存在一个整数,使成立当为偶数时,若则令,则有若则令,则同样有当为奇数时,若则令,则有78/78《初等数论》习题解答(修改版)(茂名学院WeiXLI)若,则令,则同样有,综上所述,存在性得证.下证唯一性当为奇数时,设则而矛盾故当为偶数时,不唯一,举例如下:此时为整数§2最大公因数与辗转相除法1.证明推论4.1推论4.1a,b的公因数与(a,b)的因数相同.证:设是a,b的任一公因数,

3、a,

4、b由带余除法

5、,

6、,┄,

7、,即是的因数。78/7

8、8《初等数论》习题解答(修改版)(茂名学院WeiXLI)反过来

9、且

10、,若则,所以的因数都是的公因数,从而的公因数与的因数相同。2.证明:见本书P2,P3第3题证明。3.应用§1习题4证明任意两整数的最大公因数存在,并说明其求法,试用你的所说的求法及辗转相除法实际算出(76501,9719).解:有§1习题4知:使。,,使如此类推知:且而b是一个有限数,使,存在其求法为:4.证明本节(1)式中的78/78《初等数论》习题解答(修改版)(茂名学院WeiXLI)证:由P3§1习题4知在(1)式中有,而,,即§3整除的进一步性质及最小公倍数1.证明两整数a

11、,b互质的充分与必要条件是:存在两个整数s,t满足条件.证明必要性。若,则由推论1.1知存在两个整数s,t满足:,充分性。若存在整数s,t使as+bt=1,则a,b不全为0。又因为,所以即。又,2.证明定理3定理3证:设,则∴又设则。反之若,则,从而,即=3.设(1)是一个整数系数多项式且,都不是零,则(1)的根只能是以的因数作分子以为分母的既约分数,并由此推出不是有理数.证:设(1)的任一有理根为,。则78/78《初等数论》习题解答(修改版)(茂名学院WeiXLI)(2)由,所以q整除上式的右端,所以,又,所以;又由(2)有因为p整除上式的右端,

12、所以,,所以故(1)的有理根为,且。假设为有理数,,次方程为整系数方程,则由上述结论,可知其有有理根只能是,这与为其有理根矛盾。故为无理数。另证,设为有理数=,则但由知,矛盾,故不是有理数。§4质数·算术基本定理1.试造不超过100的质数表解:用Eratosthenes筛选法(1)算出a(2)10内的质数为:2,3,5,778/78《初等数论》习题解答(修改版)(茂名学院WeiXLI)(3)划掉2,3,5,7的倍数,剩下的是100内的素数将不超过100的正整数排列如下:1234567891011121314151617181920212223242

13、526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889909192939495969798991002.求82798848及81057226635000的标准式.解:因为8

14、848,所以,又8

15、856,所以8

16、B,,又4

17、32,所以4

18、C,又9

19、(3+2+3+4+3+3),所以9

20、D,,又9

21、(3+5+9+3+7),所以9

22、E,又所以;同理有。3.

23、证明推论3.3并推广到n个正整数的情形.推论3.3设a,b是任意两个正整数,且,,,,,,则,,78/78《初等数论》习题解答(修改版)(茂名学院WeiXLI)其中,,证:,∴∴,.∴,又显然∴,同理可得,推广设,,(其中为质数为任意n个正整数),则4.应用推论3.3证明§3的定理4(ii)证:设,其中p1,p2,L,pk是互不相同的素数,ai,bi(1£i£k)都是非负整数,有由此知(a,b)[a,b]==ab;从而有.5.若是质数(n>1),则n是2的方幂.证:(反证法)设为奇数),则78/78《初等数论》习题解答(修改版)(茂名学院WeiXL

24、I)∵,∴为合数矛盾,故n一定为2的方幂.§5函数[x],{x}及其在数论中的一个应用1.求30!的标准分解式.解:30内

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