《初等数论(闵嗣鹤、严士健)》第三版习题解答

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1、《初等数论》习题解答（第三版）广东石油化工学院第一章整数的可除性§1整除的概念·带余除法1．证明定理3定理3若都是得倍数，是任意n个整数，则是得倍数．证明：都是的倍数。存在个整数使又是任意个整数即是的整数2．证明证明又，是连续的三个整数故从而可知3．若是形如（x，y是任意整数，a，b是两不全为零的整数）的数中最小整数，则．78/78《初等数论》习题解答（第三版）广东石油化工学院证：不全为在整数集合中存在正整数，因而有形如的最小整数，由带余除法有则，由是中的最小整数知（为任意整数）又有，故4．若a，b是任意二整数，且，证明：存在两个整数s，t使得成立，并且当b是奇数时，s，t是唯一存在的．当b

2、是偶数时结果如何？证：作序列则必在此序列的某两项之间即存在一个整数，使成立当为偶数时，若则令，则有若则令，则同样有当为奇数时，若则令，则有78/78《初等数论》习题解答（第三版）广东石油化工学院若，则令，则同样有，综上所述，存在性得证．下证唯一性当为奇数时，设则而矛盾故当为偶数时，不唯一，举例如下：此时为整数§2最大公因数与辗转相除法1．证明推论4.1推论4.1a，b的公因数与（a，b）的因数相同．证：设是a，b的任一公因数，

3、a，

4、b由带余除法

5、，

6、，┄,

7、,即是的因数。78/78《初等数论》习题解答（第三版）广东石油化工学院反过来

8、且

9、，若则，所以的因数都是的公因数，从而的公因数与的因数

10、相同。2．证明：见本书P2，P3第3题证明。3．应用§1习题4证明任意两整数的最大公因数存在，并说明其求法，试用你的所说的求法及辗转相除法实际算出（76501，9719）．解：有§1习题4知：使。，，使如此类推知：且而b是一个有限数，使，存在其求法为：4．证明本节（1）式中的78/78《初等数论》习题解答（第三版）广东石油化工学院证：由P3§1习题4知在（1）式中有，而，，即§3整除的进一步性质及最小公倍数1．证明两整数a，b互质的充分与必要条件是：存在两个整数s，t满足条件．证明必要性。若，则由推论1.1知存在两个整数s，t满足：，充分性。若存在整数s，t使as+bt=1，则a，b不全为0

11、。又因为，所以即。又，2．证明定理3定理3证：设，则∴又设则。反之若，则，从而，即=3．设（1）是一个整数系数多项式且，都不是零，则（1）的根只能是以的因数作分子以为分母的既约分数，并由此推出不是有理数．证：设（1）的任一有理根为，。则78/78《初等数论》习题解答（第三版）广东石油化工学院（2）由，所以q整除上式的右端，所以，又，所以；又由（2）有因为p整除上式的右端，所以，，所以故（1）的有理根为，且。假设为有理数，，次方程为整系数方程，则由上述结论，可知其有有理根只能是，这与为其有理根矛盾。故为无理数。另证，设为有理数=，则但由知，矛盾，故不是有理数。§4质数·算术基本定理1．试造不超

12、过100的质数表解：用Eratosthenes筛选法（1）算出a（2）10内的质数为：2，3，5，778/78《初等数论》习题解答（第三版）广东石油化工学院（3）划掉2，3，5，7的倍数，剩下的是100内的素数将不超过100的正整数排列如下：1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889909192939

13、495969798991002．求82798848及81057226635000的标准式．解：因为8

14、848，所以，又8

15、856，所以8

16、B，，又4

17、32，所以4

18、C，又9

19、（3+2+3+4+3+3），所以9

20、D，，又9

21、（3+5+9+3+7），所以9

22、E，又所以；同理有。3．证明推论3.3并推广到n个正整数的情形．推论3.3设a，b是任意两个正整数，且，，，，，，则，，78/78《初等数论》习题解答（第三版）广东石油化工学院其中，，证：，∴∴，.∴，又显然∴，同理可得，推广设,,(其中为质数为任意n个正整数)，则4．应用推论3.3证明§3的定理4（ii）证：设，其中p1,p2,L,pk是互

23、不相同的素数，ai，bi（1£i£k）都是非负整数，有由此知(a,b)[a,b]==ab；从而有．５．若是质数（n>1），则n是2的方幂．证：（反证法）设为奇数），则78/78《初等数论》习题解答（第三版）广东石油化工学院∵，∴为合数矛盾，故ｎ一定为２的方幂．§5函数[x],{x}及其在数论中的一个应用1．求30！的标准分解式．解：30内的素数为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，，，∴2．设