例谈多变量问题的解题策略

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1、《数学之友》2013年第12期例谈多变量问题的解题策略解题探索司绪荣(江苏省沭阳如东中学，223600)在每年的高考中，都会遇到一些多变量问题的g(37)在区间(o，】上单调递增，在区间[1，1]I--~考题，由于变量较多，很多考生感到无从下手，即使有点想法，但由于分不清主次，导致最后无法得到分调递减，因此g(x)一=gf÷)=4，从而0≥4；数，未免可惜．多变量问题大多是求参数范围的问当<0，即[一1，0)时√^()=似一3x+lI>0，题．这些问题因与数学思想方法联系紧密而使学生感到困难．然而，相当一部分题目都可以进行分类讨可化为口≤一，

2、g，()：>o，g()在论解决，使得做题的正确率大大提高．下面通过具体区问[一1，0)上单调递增，因此g()=g(一1)=的例子说明如何使用变量分离或变换主元法解决多4，从而口≤4，综上口=4．变量问题．点评：首先对不等式进行变形得a3；。≥3一1，要1分离变量法想变量分离，就必须考虑，当=0时，恒成立；当≠0时，就可以变成0≥g()或口≤g()的情形，从分离变量法是通过将两个变量构成的不等式而变成求函数g(37)的最值问题．(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自1．2解决存在性问题相同，解决有关不等式恒成立、不等式存在(有)解依据

3、：不等式f()≥g(a)存在解甘[厂()]和方程有解中参数取值范围的一种方法．≥g()(求解厂()的最大值)；不等式)≤g(n)解决问题的关键：分离变量之后将问题转化为存在解铮[f()]；≤g(口)(即求解f()的最小求函数的最值或值域的问题．分离变量后，对于不同值)．问题我们有不同的理论依据可以遵循．1．1解决恒成立问题例2已知函数)=÷毗+2x(a#O)，g(37)依据：不等式37)≥g(a)恒成立甘[)]i≥=lnx．若h(37)=)一g()存在单调递增区间，求g(a)(求解)的最小值)；不等式)≤g(17,)恒口的取值范围．成立铮)]

4、≤g(口)(求解)的最大值)．分析：问题的本质是存在>0使得h()I>0，例1(08江苏14)设函数)=似一3x+1进而转化为，()：兰二≥0在>0上有(∈R)，若对于任意的戈∈[一1，1]都有37)≥0成立，则实数口的值为．解，即似+2x一1≥0在>0上有解，进而又可以分析：本小题考查函数单调性的综合运用．转变成存在>0使得口≥这就转化为n≥本题是O8江苏卷的第l4题，是填空题的压轴题，有两个变量，其中一个已知，求另一个变量的取=g(37)，此时要注意是求g(37)的最大值还是值范围，自然想到变量分离，这时就要考虑。与零的关系，是否导致不等

5、号改变方向．最小值．是存在性问题，所以只需口≥g()i(>解：若37=0，则不论口取何值，，()≥O显然0)，得口≥『L1J．m

6、n成立；点评：本题如果不采用变量分离，则在求解时很当>0，最口∈(0，1]时√^()=n。一3x+lI>0容易出错．即使采用变量分离，但是仍要注意是求可化为：口≥专一g(37)的最小值而不是g(37)的最大值．1．3解决方程有解问题设g()：一，则g，()：，所以依据：方程)=g(口)有解甘g(口)的范围=·72·《数学之友》2013年第12期)的值域(求)的值域)．所以得知，例3若关于的方程(一2)+一2a+1=

7、0有解，求实数口的取值范围．解之得{_一<：<2’即一l<<2．分析：很多学生看到本题，大多想到判别式法，tx>一仔细看实际是双变量的问题，≠2是显然的，此时点评：本题在求解的时候，选定了n作为主元，此时函数是一次函数，然后变成了求一次函数的最方程就可以转化为。：一二，进而可化为小值问题，使问题得以简洁解决．口=一2．2解析几何中的定点问题【(x-2)+】，令g()=一[(x-2)+08、09两年江苏的高考题中的解析几何题都是只需求出g()的值域，问题就可解决．定点问题，这类问题里，变量很多，学生往往不知从解：因为x#2显然，所以方程可转化为

8、何下手，事实上，如果选定主元，去掉其它元素，这类口一，令)一，．问题也能很快解决．例5(09江苏l8)在平则g()=一Ix一2)+l，令一2=￡，面直角坐标系中，已知圆，o·则当t>0时，g(x)≤一2；当t<0时，g()>12，C1：(+3)+(Y一1)=4和＼／01所以当a∈(一∞，一2]u[2，+∞)时方程(一2)圆C2：(一4)+(Y一5)+似一2a+1=0有解．=4．点评：本题的求解策略是将方程问题通过变量(1)若直线z过点A(4，0)，且被圆c截得的弦分离，转化为函数的值域问题，从而使得问题得以简长为2，求直线z的方程．单的解决．

9、当然这题还可以改编成：(2)设P为平面上的点，满足：存在过点尸的无穷若关于的方程(一2)+础一2a+1=0有两多对互相垂直的直线z和f2，它们分别与圆c和圆C2个不