二阶及高阶微分方程的求解与应用

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1、一阶微分方程二阶及高阶微分方程的求解与应用学号2012xxxxxxxx姓名xxxxx班级xxxxxxxxxxxx学院xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx1一阶微分方程摘要：本人认为第三章略微复杂，在课上时感觉自己听懂了，但是课后发现又会出现好多问题。所以，本着为期末考试作准备，也是进一步巩固自己第三章的内容的想法，我就把二阶及高阶微分方程的求解按照课本的顺序总结了一下，然后又从实际问题出发，应用二阶及高阶微分方程来解决具体问题的一个典型例题。关键词：二阶及高阶微分方程降阶基本解组Wronskian行列式常系数高阶微分方程的求解没有统一的方法，但通过课本的归纳总结还是可以找到一些

2、规律，下面就是我总结的一些主要解法。一、解法一、可降阶的高阶微分方程一般的高阶微分方程没有普遍的解法，通常是通过变量代换把高阶方程的求解问题转化为较低阶的方程来求解。这里总结三种可降阶的方程类型及求解方法。1、不显含未知数x的方程不显含未知函数x及其直到k1(k1)阶导数的方程，(k)(k1)(n)形如：F(t,x,x,,x)0(k)(nk)求解：令xy，可化为关于y的n-k阶方程F(t,y,y,y)0，(k)求得通解y(t,c,c,c)，即x(t,c,c,c)12nk12nk再经k次积分，即可求得解x。2、不显含自变量t的方程(n)形如：F(x,x

3、,,x)02dxdxdydydxdy求解:令yx，则y,y，2dtdtdtdxdtdxdydy3d(y)d(y)2dxdxdxdxdy22dyy()y,即运用数学归纳法，归纳得：32dtdtdxdtdxdx2一阶微分方程n1dydyF(x,y,,,)0，依次降阶即可求得，一般应用于二阶微分方程的求解。n1dxdx3、全微分方程和积分因子nn1dxdxddxdx形如：F(t,x,,,)(t,x,,,)称为全微分方程，显然有：nn1dtdtdtdtdtn1dxdx(t,x,,,)c，则求得通解x(t,c,c,,c)即是方程的通解。n

4、1112ndtdtn1dxdx若方程本身不是全微分方程，也可乘一个适当的积分因子u(t,x,,,)变n1dtdt为全微分方程来求解。二、线性微分方程nn1dxdxdx线性微分算子：L[x]a(t)a(t)a(t)xn1n1n1ndtdtdt性质：c是常数，L[cx]cL[x]，L[xx]L[x]L[x]1212这里默认所说的都是系数a(t)(i1,2,,3,n)及右函数f(t)在区间上也连续i1、n阶线性齐次微分方程nn1dxdxdx形如：a(t)a(t)a(t)x0，或L[x]0；n1n1n1ndtdtdt叠加原理：如果x(t)

5、,x(t),,x(t)是方程的k个解，则它的线性组合12kcx(t)cx(t)cx(t)也是方程的解，其中c,c,,c是常数。1122kk12kn基本解组：若方程的任一个解都可以表示成(t)cixi(t)，则称：i1x(t),x(t),,x(t)是方程的基本解组。12nx(t)x(t)x(t)12kx(t)x(t)x(t)12kWronskian行列式：W[x(t),x(t),,x(t)]12k(k1)(k1)(k1)x(t)x(t)x(t)12k3一阶微分方程在区间(a,b)，当它恒等于零时，函数组x(t),x(t),,x(t)线性相

6、关，当在某点12nt处W（t）不等于零,则线性无关。求解：(1)、如果x(t),x(t),,x(t)是方程的n个线性无关解，则通解可表示为12nnx(t)cixi(t)，其中c1,c2,,cn是常数。i1ta1(s)ds(2)、刘维尔公式：W(t)W(t)et0。01p(t)dt例：xp(t)xq(t)x0，通解x(t)cxcxedt11212x12、n阶线性非齐次微分方程nn1dxdxdx形如：a(t)a(t)a(t)xf(t)，或L[x]f(t)n1n1n1ndtdtdt求解：(1)、通解：n阶线性非齐次方程的通解等于它所对应

7、齐次方程的通解与它本身的一个特解之和。(2)、常数变易法：设x(t),x(t),,x(t)是齐次方程的n个线性无关的解，12n则xcx(t)cx(t)cx(t)，1122nn令常数c(i1,2,,n)看成t的待定函数c(t)，则iixc(t)x(t)c(t)x(t)c(t)x(t)，1122nn然后解得n个未知函数c(t)(i1,2,,n)所满足的代数方程式，继而求得ic(t)(t)(i1,2