高斯型多维积分公式.ppt

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1、高斯型多维积分公式报告人：肖青导师：周少武HunanUniversityofScienceandTechnology内容4、总结3、多变量函数1、研究背景2、单变量函数CollegeofMechanicalandElectricalEngineering2.1数值积分研3.1张量积研3.2稀疏网格法2.2多项式混沌展开研3.3容积量法3.4算例HunanUniversityofScienceandTechnology1.研究背景很多工程问题可以看成一个黑箱问题：黑箱可以是非线性方程组、优化模型等。上式中

2、，若为一个随机向量，则输出量也是随机变量，略去具体的运算过程，可将看作随机向量的函数：CollegeofMechanicalandElectricalEngineering输入X非线性传递系统输出y(1)HunanUniversityofScienceandTechnology1.研究背景此时，输出量的阶原点矩可表示为：为随机向量的联合概率密度分布函数。在接下来的讨论中，我们假定随机向量为独立且边际分布同一的随机向量。若随机向量为相关的随机向量，可采用Copula理论，将表示成独立且边际分布同一的随机向

3、量：，则：。CollegeofMechanicalandElectricalEngineering(2)HunanUniversityofScienceandTechnology1.研究背景高斯型积分公式的基本思想是：选取若干个积分节点()，给每个节点配予权重，以此计算输出量的原点矩：上式中，表示函数在积分节点处的值。问题的核心是：如何用尽可能少的积分节点得到尽可能准确的值。CollegeofMechanicalandElectricalEngineering(3)HunanUniversityofSc

4、ienceandTechnology2.单变量函数先讨论单变量函数的情况，说明高斯型积分公式是如何选择积分节点和权重的，以计算输出量的数学期望为例，若：绝对最优的积分法是不存在的，只能使积分在某种准则下最优，最常用的方法是在多项式逼近的框架下，讨论最优积分节点与权重，即：用一个阶多项式逼近被积函数：CollegeofMechanicalandElectricalEngineering(4)(5)HunanUniversityofScienceandTechnology2.单变量函数此时，的数学期望为：记

5、：则的数学期望为：思路1：数值积分（隐式方法）思路2：多项式混沌展开法（显式方法）CollegeofMechanicalandElectricalEngineering(6)(7)(8)HunanUniversityofScienceandTechnology2.1数值积分将式（5）代入式（4）可得：如果所选的个积分节点和权重满足：则式（4）中的数值积分可以零误差（error-free）求得式（5）多项式模型的数学期望。进一步，若该多项式模型能较好地逼近，则数值积分可以较准确地求得。CollegeofM

6、echanicalandElectricalEngineering(9)(10)HunanUniversityofScienceandTechnology2.1数值积分CollegeofMechanicalandElectricalEngineering图1：基于泰勒展开式对sin(x)的逼近HunanUniversityofScienceandTechnology2.1数值积分CollegeofMechanicalandElectricalEngineering图2：基于Hermite多项式对sin(

7、x)的逼近HunanUniversityofScienceandTechnology2.1数值积分注意到：个积分节点和权重包含个未知数，因此，最优的积分节点和权重应该满足个式（10）中的方程，即：求解方程组，即可求得最优的积分节点和权重。若本身为一个阶多项式，且，则这组积分节点和权重能以零误差求得数学期望，或者说，有阶代数精度（algebraicaccuracy）。CollegeofMechanicalandElectricalEngineeringHunanUniversityofScienceand

8、Technology2.1数值积分给定概率密度函数，若任意阶Hankel矩矩阵（Hankelmomentmatrix）行列式为正：就可以为权函数，生成唯一的首一正交多项式序列：，，…，，…CollegeofMechanicalandElectricalEngineeringHunanUniversityofScienceandTechnology2.1数值积分CollegeofMechanicalandElectricalEngineeri