经典中小学奥数题型(几何图形).doc

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1、小学奥数平面几何五种模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)目标:熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似(含金字塔模型和沙漏模型),共边(含燕尾模型和风筝模型),掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等;②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;如右图③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图;反之,如果,则可知直线平行于.④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;⑥两

2、个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.如图在中,分别是上的点如图⑴(或在的延长线上,在上),则图⑴图⑵三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”):①或者②蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.梯形

3、中比例关系(“梯形蝶形定理”):①②;③的对应份数为.四、相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型①;②.所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比;⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方;⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理:三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.在小学

4、奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.五、共边定理(燕尾模型和风筝模型)在三角形中,,,相交于同一点,那么.上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因为和的形状很象燕子的尾巴,所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题【例1】如图,正方形ABCD的边长为6,1.5,2.长方形EFGH的面积为._H_G_F_E_D_C_B_A_A_B_C_D_E_F_G_H【解析】连接D

5、E,DF,则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍.三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积,,所以长方形EFGH面积为33.【巩固】如图所示,正方形的边长为厘米,长方形的长为厘米,那么长方形的宽为几厘米?_A_B_G_C_E_F_D_A_B_G_C_E_F_D【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形).三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.证明:连接.(我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起).∵在正方形中,边上的高,∴(三角形面积等

6、于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理,.∴正方形与长方形面积相等.长方形的宽(厘米).【例1】长方形的面积为36,、、为各边中点,为边上任意一点,问阴影部分面积是多少?【解析】解法一:寻找可利用的条件,连接、,如下图:可得:、、,而即;而,.所以阴影部分的面积是:解法二:特殊点法.找的特殊点,把点与点重合,那么图形就可变成右图:这样阴影部分的面积就是的面积,根据鸟头定理,则有:.【巩固】在边长为6厘米的正方形内任取一点,将正方形的一组对边二等分,另一组对边三等分,分别与点连接,求阴影部分面积.【解析】(法1)特殊点法.由于是

7、正方形内部任意一点,可采用特殊点法,假设点与点重合,则阴影部分变为如上中图所示,图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和,所以阴影部分的面积为平方厘米.(法2)连接、.由于与的面积之和等于正方形面积的一半,所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的,同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的,所以阴影部分的面积为平方厘米.【例1】如图所示,长方形内的阴影部分的面积之和为70,,,四边形的面积为.【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形、和四边形的面积之和,以及三角形和的面积之和,进而求出四边形的面积.

8、由于长方形的面积为,所以三角形的面积为,所以三角形和的面积之和为;又三角形、和四边形的面积之和为,所以四边形的面积为.另解:从整体上来看,四边形的面积三角形面积三角形面积白色部分的面积,而三角形面积三角形面积为长方形面积的一半,即60,白色部分的面

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