二面角典型例题分析.doc

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1、NO.*二面角·典型例题分析例1如图1-125，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值。   分析 由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角。   解 ∵PC⊥平面ABC   ∴平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA－C的平面角。   设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a

2、的正三角形，∴D是   　　∵PC=CA=a，∠PCA=90°，∴∠PAC＝45°∴在Rt△DEA   评注 本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法来求解。4N0.*NO.*   例2 在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离。（图1－126）   分析 设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ.   同理，有PB⊥a，   ∵PA∩PB=P，   ∴a⊥面PAQB于Q   又AQ、BQ   平面P

3、AQB   ∴AQ⊥a，BQ⊥a.   ∴∠AQB是二面角M－a－N的平面角。   ∴ ∠AQB＝60°   连PQ，则PQ是P到a的距离，在平面图形PAQB中，有   ∠PAQ＝∠PBQ=90°   ∴P、A、Q、B四点共圆，且PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R   在△PAB中，∵PA=1，PB=2，∠BPA＝180°-60°=120°，由余弦定理得4N0.*NO.*   AB2＝1＋4-2×1×2cos120°＝7   由正弦定理：例3 如图1-127过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB＝a求（

4、1）二面角B－PC－D的大小；（2）平面PAB和平面PCD所成二面角的大小。   分析 二面角B－PC－D的棱为PC，所以找平面角作棱的垂线，而平面PAB和平面PCD所成二面角“无棱”须找二面角的棱。   解 （1）∵PA⊥平面ABCD，BD⊥AC   ∴BD⊥PC（三垂线定理）   在平面PBC内，作BE⊥PC，E为垂足，连结DE，得PC⊥平面BED，从而DE⊥PC，即∠BED是二面角B－PC－D的平面角。   在Rt△PAB中，由PA＝AB=a   ∵ PA⊥平面ABCD，BC⊥AB   ∴BC⊥PB（三垂线定理）   在

5、Rt△PBC中，   在△BDE中，根据余弦定理，得4N0.*NO.*　　   ∴∠BED＝120°   即二面角B－PC－D的大小为120°。   （2）过P作PQ∥AB，则PQ   平面PAB，   ∵AB∥CD∴PQ∥CD，PQ   平面PCD   ∴平面PAB∩平面PCD于PQ   ∵ PA⊥AB，AB∥PQ∴PA⊥PQ   ∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD   ∴ CD⊥PD（三垂线定理的逆定理）   ∵ PQ∥CD ∴PD⊥PQ   所以∠APD是平面PAB和平面PCD所成的二面角的平面角。   ∵PA＝AB=AD

6、，∴∠APD=45°   即平面PAB和平面PCD所成的二面角为45°。4N0.*