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1、离散数学数理逻辑第四章一阶逻辑基本概念一阶逻辑命题符号化一阶逻辑公式及解释一阶逻辑的引入在命题逻辑中,命题是最基本的单位,对简单命题不再进行分解,不关心命题中个体与总体的内在联系和数量关系.这就使得它难以描述和证明一些常见的推理.因此,需要对命题进行细化,建立更为精细的逻辑推理体系.例如:逻辑学中著名的三段论:凡偶数都能被2整除.6是偶数.所以,6能被2整除.这个推理是数学中的真命题,是正确的,但在命题逻辑中却无法判断其正确性,用p,q,r分别表示以上三个命题.则得到推理的形式结构为:(p∧q)→r由于上式不是重言式,因而不
2、能由它判断推理的正确性.原因在于各命题的内在联系没有表示出来.为了克服命题逻辑的局限性,应该将原子命题再细分,分析出个体词,谓词和量词,以便达到表达出命题的内在联系和命题之间的逻辑关系.这就是一阶逻辑所研究的内容.§4.1一阶逻辑命题符号化谓词逻辑命题符号化的三个基本要素:个体词,谓词,量词.1.个体词:研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体.例如:小王,小张,马列主义,3,北京等都可做为个体词.注:(1)表示具体或特定客体的个体词称为个体常项,一般用小写字母a,b,c,…表示;(2)表示抽象或泛指的个体词称为个体变项,
3、一般用小写字母x,y,z,…表示.个体变项的取值范围称为个体域(或论域).个体域可以是有限集合,如{1,2,3}或{a,b,c},也可以是无限集合,如自然数集合N或实数集合R.由宇宙间一切事物组成的个体域称为全总个体域.谓词2.谓词:用来刻划个体词的性质或个体词之间相互关系的词.例如:(1)在命题“是无理数”中,“…是无理数”是谓词.(2)在命题“x是有理数”中,“…是有理数”是谓词.(3)在命题“小王与小李同岁”中,“…与…同岁”是谓词.(4)在命题“x与y具有关系L”中,“…与…具有关系L”是谓词.注①常用大写字母F,
4、G,H等来表示谓词.②表示具体性质或关系的谓词称为谓词常项;表示抽象或泛指的性质或关系的谓词称为谓词变项.③F(a):表示个体常项a具有性质F(F是谓词常项或变项);F(x):表示个体变项x具有性质F(F同上);F(a,b):表示个体常项a,b具有关系F(同上);F(x,y):表示个体变项x,y具有关系F(同上).一般地,用P(x1,x2,…,xn)表示含n(n≥1)个个体变项x1,x2,…,xn的n元谓词.它可看成以个体域为定义域,以{0,1}为值域的n元函数关系.当P取常项,且(x1,x2,…,xn)取定常项(a1,a2
5、,…,an)时,P(a1,a2,…,an)是一个命题.谓词续④不含个体变项的谓词称为0元谓词.例如F(a),G(a,b),P(a1,a2,…,an)等.当F,G,P等为谓词常项时,0元谓词即为命题.因此,命题可看作特殊的谓词.例用0元谓词将下列命题符号化,并讨论它们的真值. (1)只有当2是素数时,4才是素数; (2)如果5大于4,则4大于6.解(1)设一元谓词F(x):x是素数;个体常项:a:2；b:4.则命题可符号化:F(b)→F(a).因为该蕴含式前件为假,故命题为真.(2)设二元谓词G(x,y):x大于y.个体常项:
6、a:4;b:5;c:6.则命题可符号化为:G(b,a)→G(a,c).由于G(b,a)为真,而G(a,c)为假,故命题为假.量词的引入有了个体词和谓词的概念之后,有些命题还是不能准确地符号化.以前面所讨论的三段论为例:令P(x):x是偶数.S(x):x能被2整除.a:6.符号化为:(1)P(x)→S(x)(2)P(a)(3)S(a)我们知道,“凡偶数都能被2整除.”是一个真命题,而“P(x)→S(x)”不是一个命题.原因是“P(x)→S(x)”没有把命题中“凡”的意思表示出来.即缺少表示个体常项或变项的数量关系的词.所以还要
7、引入量词的概念.量词量词:表示个体常项或变项之间数量关系的词.量词只有两个:全称量词,存在量词.(1)全称量词:表示“全部”含义的词.全称量词符号化为“”.a.常用语中“全部”,“所有的”,“一切”,“每一个”,“任何”,“任意的”,“凡”,“都”等词都是全称量词.b.xF(x)表示个体域里所有个体都有性质F.(2)存在量词:表示“存在”含义的词.存在量词符号化为“”.a.常用词中“存在”,“有一个”,“有的”,“至少有一个”等词都是存在量词.b.xF(x)表示个体域中存在个体具有性质F.例:凡偶数都能被2整除.可符
8、号化为:x(P(x)→S(x))是真命题,其中x不再起变元的作用,它被全称量词限制住了,这时我们称x被量化了.一阶逻辑中命题符号化例个体域为人类集合,将下面两个命题符号化: (1)凡是人都要呼吸;(2)有的人用左手写字.解令F(x):x呼吸;G(x):x用左手写字.则(1)xF(x)
