多元变量范围问题的处理策略-论文.pdf

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1、③辨识多元变量间的关系，正确降元．例3在RtZ~ABC中，C-90。，A、B、C务蚕熏所对的边分别为a、b、c，若不等式a。(b+C)+b。(c+口)+C(n+6)≥kabc，对任意的a、b、C都成立，钛曝求k的取值范围．本题在分离参数k后，可得解析n(6+c)+b2(c+n)+f(n+6)、，——————瓦————一◇江苏李维坚利用正弦定理将±±±转化如果多元变量满足一定的等量关系或者不等量关系，就称其为相关变量．由相关变量经过初等运算为三角函数c。sA+sinA+，再令所构成的代数式称为相关变式．求多元变量的取值范sinA+COSA，tE(1，]，设围问题近年来层出不穷，但考生大多束手无策

2、．而在这类问题中，蕴含着丰富的数学思想方法，如化归的’fl(t)一aOc一思想，函数的思想，数形结合的思想等．布鲁纳曾说+十：升十—t-—1：一l+十~-i+十1l．·过：掌握数学思想方法可使数学本身更容易理解．本t_2文就多元变量的范围问题，介绍一些基本的处理策略，希望能够用一些通法通性来解决这类变化多端的则，(￡)一2+3，故k∈(一∞，2+3]．问题．2)借助第3个变量降元(三角换元，均值换元，逆向代入降元)1利用等量关系降元嚣—’1)选择一个变量表示其余变量，将多元变量的范i例4已知4x。+Y+2xy一1，求2+的最围转化为函数的值域大值．①利用多个方程，合理降元，当然还要注意降元Q解

3、析方法1(直接降元)原方程可化为3x+后自变量的取值范围．(，z+．、)。z_1，令一COS，Y—sin口一·；孑例1已知z，，z∈R，且z+y+一1，z。+y+2一3，则xyz的最大值是．cos棚02x+一c+Sina一≤．——Q解析由x+y-b-z一1，z。++一3，得xy—方法2(逆向代入降元)令2z+—t，则3，一￡～一一1，将z转化为关于z的函数2，代人已知方程，利用主元思想，关于z的方程f(z)：z。一。一2．再由X+y4-z一1，z+y+z一4一2z+一1—0有实数根，解出参数t的范围．3，求出z的取值范围，即得厂(z)的最大值是．．I■0②观察等式的结构，有效降元．例5设实数扎

4、≤6，若不等式2xm+(2一z)规～例2实数a，卢满足2一sin(2a+3p一1)一8>1o对任意∈[一4，2]都成立，则丝堑的最小值±口一口+昌1，’求50~2m2Jp9I：PJ最取小’值．’主元思想：(z)一(2m一)+2n一8≥0对利用三角函数的有界性，可得等式左边大于J—解析等于1且小于等于2；等式右边可化为f，(一4)≥0，任意∈[一4，2]都成立，得{厂(2)≥0，利+口一13+i，则其大于等于2或小于l≤0，等于一2，则要使方程成立，等式两边都等于2，即用线性规划，得点(m，n)的区域，而四次齐次分式可化为一(旦)。，旦可看为一旦z的斜率，{1)一。，通过降元可得50／2-2卢的

5、最小7"l77zm在区域中求出其范围．再令旦一值是一i1，只须求函数g(￡)：．m化1一￡。的值域即可，得最小值为一了8O_=_．析一÷抖的几何意义可以看作是抛2利用不等关系降元物线y一一÷z+2的纵截距，作出点(，)满足的区1)显性的不等关系域即可求得最大值为29．，例6已知关于的实系数一元二次不等式4基本不等式口zz+6+c≥O(口<6)的解集为R，则M一—a+2b+4c了一■0例1O已知圆心角为120。的扇形AOB的半径的最小值为——．为1，C为弧AB的中点，点D、E分别在半径OA、OB，Q解析由题意得b一4ac~O，a>O，所以由显性的上，若CD。4-CE4-DE。一／,o，则OD+O

6、E的最大值不等关系得是●口+2b+4c口+2ab+4ac．~—一—一—二令OD=x，OE=y，由余弦定理得1+2．鱼+(鱼)。DE=。++xy，口CD一z+1一X，CE。一Y+1一Y。令一￡(>1)，则M≥=(一1)++再由CD。+CEz+DEz一萼，得4≥4+4—8，当且仅当一3，即6—3a时等号成立．2+2。+xy-x-y+2一百26，例7定义：min{z，}为实数x,y中较小的数．利用基本不等式的结构特征，可得已知^min{口，丽0)，其中n，6均为正实数，则^2(z+)z一3xy-(z+)一詈．的最大值是——．因为≤(互)。，故2(z+．)，)。一3(笠)。一析≤壶≤志一丢，所(+)≤

7、芸，整理得45(+)z一36(+)一32≤o，以^≤(当且仅当一时取等号)．解得一熹≤z+≤詈．故答案为÷．2)隐性的不等关系5不等式的性质，I例8已知A，B，C是平面上任意3点，BC=口，一；例11若实数X，Y，，t满足1≤z≤≤≤t≤CA一6，ABc，则一。南+的最小值是——．10000，则生+÷的最小值为VQ解析利用隐性的n≤6+c这一不等关系，得3，一利用不等式的性质，要使+手最小，则z—