定积分概念、求解.ppt

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1、定积分的概念abxyo曲边梯形的面积问题求解曲边梯形面积的过程，可概括为“分割-取近似-求和-取极限”的步骤.将曲边梯形的底，即[a,b]进行分割(用垂直于x轴的直线).第一步分割；曲边梯形的面积的解决思路：abxyo取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积.第二步取近似；abxyo用矩形面积近似小曲边梯形面积底典型小区域面积abxyo第三步求和；矩形面积和与曲边梯形面积不相等有误差将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所有的小矩形面积加起来.第四步取极限.当对曲边梯形底的分割越来越细时，矩形面积之和越近似于曲边梯形面积.abxyo的极限值定积

2、分的定义：定积分的相关名称：———叫做积分号，f(x)——叫做被积函数，f(x)dx—叫做被积表达式，x———叫做积分变量，a———叫做积分下限，b———叫做积分上限，[a,b]—叫做积分区间。说明：(1)定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即òbaf(x)dx=òbaf(x)dx-(3)二、定积分的几何意义：Oxyabyf(x)x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，xyOabyf(x)=-S上述曲边梯形面积的负值。

3、定积分的几何意义：=-S当f(x)在区间[a,b]上有正有负时，曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值abyf(x)Oxy探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?abyf(x)Oxy定理例1解π三:定积分的基本性质性质1.性质2.aby=f(x)cOxy定积分关于积分区间具有可加性性质3.例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(

4、x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例3：解：xyf(x)=sinx1-1定积分的计算定积分计算如何计算定积分？定义很复杂，直接计算很困难.需要转换新的思路.根据几何意义，图不好画定理牛顿-莱布尼茨公式微积分基本定理微积分基本公式表明：求定积分问题转化为求原函数的问题注意例1求解提示与分析：ππππ先看成不定积分问题，求出原函数.例2例如问题

5、解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令第一换元法考虑到底该令哪个式子为u一定要换积分上、下限第一换元（凑微分）法常用的几种配元形式:解例4计算说明:使用第一换元法的关键在于将化为观察重点不同，所得结论形式不同.例5计算解一π提示与分析：用凑微分法求解.ππππ解二ππππ解三第一类换元法难求易求第二换元积分法第二类换元法难求易求定积分的第二换元积分法应用换元公式时要注意:第二换元法例7计算解令πππ如何去掉根式？三角代换πππππππππ=0解例8计算ππππππ解例9计算1求2求练习1求2求提示与分析：含有根式,可采用换元定积分,去掉根号.面

6、积怎么求？元素法ππ