§8.4 几种特殊的格.ppt

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1、§8.4几种特殊的格8.4.1有界格8.4.2有余格8.4.3分配格8.4.4模格8.4.1有界格引理1设(L，≤)是一个格。若S是L的任意一个有限非空子集，则S有一个最大下界和一个最小上界。记集合S的最大下界为infS；集合S的最小上界为supS。Note:对于格的一个无穷子集，引理1的结论不成立。例.在格（I+，≤）中，所有正偶数组成的集合记为E+，显然，E+I+，但E+没有最小上界。定义.格（L，≤）称为有界格，如果它有一个最大元素（记为1）和一个最小元素（记为0），亦即，对任意a∈L，都有0≤a≤10，1称为格（

2、L，≤）的界。结论：有限格必是有界格令L={a1，…，an},0=a1×a2×…×an,1=a1⊕a2⊕…⊕an引理2.若（L,×,⊕,0,1）是有界格，则对任意a∈L，恒有a⊕0=a，a×1=a，a⊕1=1，a×0=0。定义.在有界格（L，×，⊕，0，1）中，一个元素b∈L，称为元素a∈L的余元素，如果a×b=0，a⊕b=1。111abababc000(a,b都无余）（a有唯一余）（a有b,c两个余）1abc0引理3在有界格（L，×，⊕，0，1）中，1是0的唯一一个余元素，反之亦然。证明：由引理2，0×1=0，0⊕1=1

3、，所以，0，1互为余元素。若c∈L，且c≠1，c是0的余元素，0×c=0，0⊕c=1。但是，由引理2知，0⊕c=c故，c=1，矛盾。8.4.2有余格定义.称有界格（L，×，⊕，0，1）是一个有余格，如果对L中每一个元素，都至少有一个余元素。例.n维格（Ln，≤n）是一个有余格，其中1n=(1，1，…，1),0n=(0，0，…，0)是界。对任意Ln中元素（a1，…，an），元素（b1，…，bn）是其余元素，其中例.设S是有n个元素的集合，ρ(S)是S的幂集合，于是，（ρ（S），）是有余格。其中，和S是此格的界.对ρ（S）

4、中任意元素A，ρ（S）中的元素S-A是其余元素。8.4.3分配格定义8.4.4格（L，×，⊕）称为分配格，如果对任意a，b，c∈L，恒有a×（b⊕c）=（a×b）⊕（a×c）a⊕（b×c）=（a⊕b）×（a⊕c）Note:(1)分配格定义中的两个等式是等价的(2)n维格（Ln，≤n），格（ρ（S），），格（I+，D），格（Sn，D）都是分配格。但不是所有的格都是分配格(3)分配格的任意子格仍是分配格。例子ddeecbcbcddbbaacaaL1L2L3L4图中L1和L2是分配格，但L3,L4不是。因为在L3中b(cd

5、)=be=b和(bc)(bd)=aa=a；在L4中d(bc)=de=d和(db)(dc)=ac=c。L3称为钻石格，L4称为五角格。引理4任意一个链都是一个分配格。证明：设格（L，≤）是一个链，任取a,b,c∈L,1）若a≥b且a≥c，于是a≥b⊕c，故a×（b⊕c）=b⊕c而a×b=b，a×c=c，所以（a×b）⊕（a×c）=b⊕c故a×（b⊕c）=（a×b）⊕（a×c）。2）若a≤b或者a≤c，于是a≤（b⊕c），故a×（b⊕c）=a。而（a×b）⊕（a×c）=a所以a×（b⊕c）=（a×b）⊕

6、（a×c）。DeMorgan定律定理8.4.1设（L,×,⊕）是一个分配格,对任意a,b∈L,若a，b有余元素a’,b’，则（a×b）’=a’⊕b’（a⊕b）’=a’×b’证明：(a’⊕b’)⊕(a×b)=(a’⊕b’⊕a)×(a’⊕b’⊕b)=(1⊕b’)×(a’⊕1)=1×1=1而(a’⊕b’)×(a×b)=(a’×a×b)⊕(b’×a×b)=(0×b)⊕(0×a)=0⊕0=0故由余元素定义知，（a×b）’=a’⊕b’同理可证另一等式。定理8.4.2设格（L，×，⊕）是分配格，对任意a，b，c∈L，如果a×c=b×c，

7、a⊕c=b⊕c，则有a=b。证明：若（L，×，⊕）是分配格，且a×c=b×c，a⊕c=b⊕c，则a=a×（a⊕c）=a×（b⊕c）=（a×b）⊕（a×c）=（a×b）⊕（b×c）=b×（a⊕c）=b×（b⊕c）=b推论设格（L，×，⊕）是一个有余分配格，则对任意a∈L，a的余元素a′是唯一的。证明：因（L，×，⊕）是有余格，设a′和a″都是a的余元素，即a×a′=0，a⊕a′=1a×a″=0，a⊕a″=1故a×a′=a×a″，a⊕a′=a⊕a″。由定理8.4.2知，a′=a″。8.4.4模格定义8.4.5设（L，≤）是一个

8、格，对任意a，b，c∈L，如果a≤b，都有a⊕（b×c）=b×（a⊕c）则称（L，≤）为模格。Note:(1)任意一个分配格都是模格，由a≤b，a⊕b=b,故a⊕（b×c）=（a⊕b）×（a⊕c）=b×（a⊕c）（2）模格不一定是分配格。例.如图所示,L={0,1,b1,b2,b3}。则，格(L,×,⊕