应用混合变量最小势能原理求解悬臂弹性矩形板的稳定问题

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1、振动与冲击第29卷第9期JOURNALOFVIBRATIONANDSHOCK应用混合变量最小势能原理求解悬臂弹性矩形板的稳定问题陈英杰，付宝连，孟德亮(燕山大学建筑工程与力学学院，秦皇岛066004)摘要：将混合变量的最小势能原理推广到求解弹性矩形薄板的稳定问题中，求解了悬臂弹性矩形薄板的稳定问题，并给出了相应问题确定临界载荷的特征方程及计算结果，为工程中薄板的设计计算提供了有效的参考，尤其是对现代建筑和桥梁中的受压构件的稳定设计和计算提供了一个简捷有效的计算方法。计算表明，混合变量的最小势能原

2、理适用于矩形板稳定问题的求解。关键词：弹性矩形薄板；弹性稳定；混合变量最小势能原理；特征方程；临界载荷中图分类号：O321文献标识码：A半个多世纪以来，弹性稳定问题一直是重要的研压用混合变量最小努I能原埋与出图甲矩彤极况合究课题。能量原理¨。以其对实际工程问题中的各种总势能为：板求解的普遍性、简易性和精确性，逐渐受到人们的重视，并且在实际的工程应用中也越来越广泛。这就需n唧=2{(+雾)一要建立一系列精确可靠的理论来指导生产实践。目前2WC~2WOw2(一)[0一已有很多学者对弹性矩形薄板的稳定

3、问题进行了⋯，⋯，])dd—切实有效的研究，但有些计算结果不甚精确。本文由一Ow)f(。¨、文献[1]给出的混合变量最小势能原理求解了工程中悬臂弹性矩形薄板在纵向均布载荷作用下的一般解，Jcbr()：。d+()：一R(1)并给出了稳定问题的特征方程和临界载荷计算结果，上式称为混合变量最小势能原理的总势能，或简称为并与有限计算结果进行了比较，其结果可以直接应用混合总势能。于工程设计中。定义只满足挠度与曲率和扭率关系的挠度为弱容1弯曲矩形板混合变量最小势能原理许挠度。根据弱容许挠度与曲率和扭率关系以

4、及曲扭率与内矩关系所求得的内边界力为协调弱容许内边界考虑一在分布载荷作用下两邻边固定另两邻边自力。混合总势能要求挠度是弱容许的，内边界力也是由矩形板的弯曲，如图1(a)所示。解除其两端固定的协调弱容许的，并且它们都是变分变量。弯曲约束，分别代以分布弯矩和M棚，自由边的挠曲对式(1)取，。，和R。的变分极值，则得：线方程分别表示为和，而悬空角点的挠度为4W立o2s~_W，如图1(b)所示。6兀=m。O+209~20y2+，一g⋯Ⅱ工Ⅱ皿q口工[口工口D(+)]6()d¨一⋯／NN户{[D(+)+]

5、6()+●I’／——＼{／oa[。(+)】艿(考)d¨一1r(a)(b){[D(+)+OW，dx)一图l均载两邻边固定两邻边自由弯曲矩形板Fig．1Thebendingrectangularplatewithtwoadjacentclamped一(y+I6(删艿(y—edgesandtheothertwofreeedgesunderuniformload)一]()出+Jc。()()+基金项目：河北省专家出国培训项目资助收稿日期：2009—12一O1修改稿收到日期：2010—02—05()=o,y

6、=o6Ro~一()⋯，一()x=O,y=b~Ro6+，第一作者陈英杰男，博士，教授，1961年8月生[(Wxy)：⋯：一W曲]=0(2)通讯作者陈英杰据变分法基本预备定坪．从式(2)可得欧拉方程和自然第9期陈英杰等：应用混合变量最小势能原理求解悬臂弹性矩形板的稳定问题213k1=k4=0(18)所以式(15)、式(16)和式(17)成为：。(+2+)=g㈩=in+(19)一=一D(+)删=(4)n1．：∑Wyo=Cm=12msi‘n■■+詈k=。2(20u)u¨(+)=。㈣．∑⋯．5；Wybdn

7、+(21)一。(+)(6)：而：_一=∑Ansinnw^y一(22)(+0(7)一6(W)：。=0(8)根据本例的边界条件和混合总势能式(1)，则可得到本w)⋯一W—=例的混合总势能：x0(9)(W。)：。=0(10)(W—yb=0(11)n唧={(磐+ay21]一—2(1～)[02wO2w(W)⋯6一W。6=0(12)一(02w，]卜(Wxy)；o=：o=(Wxy)：。，：。=(Wxy)：。：0(13)，，以卜即县弹件矩形析混合蛮量的晶小势能原王单[()+N,(82w~]dxdy+()：。+2

8、算例。()：dy+r()：一考虑一悬臂矩形板，如图2(a)所示。该板在中面力和作用下处于临界状态，解除固定边的弯曲()一R一(23)约束代以弯矩，则得图2(b)所示的矩形板。等效切力和角点力分别如下：假设矩形板处于临界状态的挠曲面方程为：()：6={一。[旁+(202'_-~I一(24)(0s