（新课标）高中数学《1.3.3函数的最大(小)值与导数》评估训练 新人教A版选修2-2.doc

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1、1．3.3　函数的最大(小)值与导数1．函数y＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是(　　)．A．0B.C.D.解析　y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令y′＝0，∴x＝1，∴f(0)＝0，f(4)＝，f(1)＝e－1＝，∴f(1)为最大值，故选B.答案　B2．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为(　　)．A．0≤a<1B．0

2、极值，则下列点中一定在x轴上的是(　　)．A．(a，b)B．(a，c)C．(b，c)D．(a＋b，c)解析　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知－1,1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系知1－1＝－，所以b＝0，故选A.答案　A4．函数y＝x＋2cosx在区间上的最大值是________．解析　y′＝1－2sinx＝0，x＝，比较0，，处的函数值，得ymax＝＋.答案　＋5．函数f(x)＝sinx＋cosx在x∈的最大、最小值分别是________．解析　f′(x)＝cosx－sinx＝0，即tanx＝1，-4-x＝kπ＋，(k∈Z)，而x∈，当－＜x＜时，f′

3、(x)＞0；当＜x＜时，f′(x)＜0，∴f是极大值．又f＝，f＝－1，f＝1，∴函数最大值为f＝，最小值为f＝－1.答案　　－16．求函数f(x)＝x5＋5x4＋5x3＋1在区间[－1,4]上的最大值与最小值．解　f′(x)＝5x4＋20x3＋15x2＝5x2(x＋3)(x＋1)，由f′(x)＝0得x＝0或x＝－1或x＝－3(舍)，列表：x－1(－1,0)0(0,4)4f′(x)0＋0＋f(x)012625又f(0)＝1，f(－1)＝0，右端点处f(4)＝2625，∴函数y＝x5＋5x4＋5x3＋1在区间[－1,4]上的最大值为2625，最小值为0.7．函数y＝＋x2－3x－4在[

4、0,2]上的最小值是(　　)．A．－B．－C．－4D．－解析　y′＝x2＋2x－3(x∈[0,2])，令x2＋2x－3＝0，知x＝－3或x＝1为极值点．当x＝1时，ymin＝－，故选A.答案　A8．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为(　　)．-4-A．－37B．－29C．－5D．－11解析　∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f′(x)＝0得x＝0或2.∵f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，显然f(0)>f(2)>f(－2)，∴m＝3，最小值为f(－2)＝－37.答案　A9．函

5、数f(x)＝，x∈[－2,2]的最大值是________，最小值是________．解析　∵y′＝＝，令y′＝0可得x＝1或－1.又∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(2)＝，f(－2)＝－，∴最大值为2，最小值为－2.答案　2　－210．如果函数f(x)＝x3－x2＋a在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1,1]上的最小值是________．解析　f′(x)＝3x2－3x，令f′(x)＝0得x＝0，或x＝1.∵f(0)＝a，f(－1)＝－＋a，f(1)＝－＋a，∴f(x)max＝a＝2.∴f(x)min＝－＋a＝－.答案　－11．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a

6、.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解　(1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)．-4-于是有22＋a＝20，∴a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.∵在(－1,3)上f′(x)＞0，∴f(x)在[－1,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，∴f(2)和f(－1)分别是f(x)

7、在区间[－2,2]上的最大值和最小值，∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即f(x)最小值为－7.12．(创新拓展)已知函数f(x)＝x2e－ax(a>0)，求函数在[1,2]上的最大值．解　∵f(x)＝x2e－ax(a>0)，∴f′(x)＝2xe－ax＋x2(－a)e－ax＝e－ax(－ax2＋2x)．令f′(x)>0，即e－ax(－ax2＋2x)>0，得0