代数问题解题思想方法选讲

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1、2中等数学代数问题解题思想方法选讲何忆捷华东师范大学理工学院数学系级博士研究生中图分类号丨文献标识码文章编号：：本讲适合高中）忘综观近年来国内外各级竞赛与代数有关的赛‘题大多是以函数、方程、数列、不等式等作为主要考查内容，且占有极其重要的地位，其中精彩和①富有技巧性的问题层出不穷解题方法更是灵活多样当，即夸，，一些典型的代数题既能反映数本文选取了，学竞赛中一些具有普遍性的思想方法和策略，也‘’涉及到多种特定的代数技巧转化与化归【注】对于某些特殊的代数式或约束条件采《例设、“且咖求用三角换元是一种行之

2、有效的解题方法例设为正实数证明：的最大值越南数学奥林匹克（），解由已知条件得①，中国台湾数学奥林匹克训练营）显然，从而，；一【分析与证明】式①中的系数十散乱可先令尝试换元令，，，将式转化为轮换对称形式的不等式其中，《、卢、—，〒②’其“”中’表示轮换对称和￡由于々卢，，，因此芦式②分母较为复杂，故考虑放缩一由柯西不等式得经如上处理，只需证明一收稿强形式已得到一日期师该结论虽然更，但定简化仔年第期：细观察上式左边：下面对，发现有代数变形的契机的位数进行归纳，证明上述结论当左时然成立，显设上述结论在位数

3、时成立七考虑任意一位数啊。、挺③中，令因而，转化为证明由于此时事实上，由柯西不等式知、「太”故）…丨可见，的情形也成立从而原不等式成自数学！挪法知结论成立【注】在上述分析中，将复杂、陌生的问题转因此，函数的值域为二进制表中只含数字一、的切正整数集合即，”，值得注意的是在解些较难的不等式问题【注】極正■■自赫瓶合数学趣棘雌明这細了針进位制二（’翻和三进制分别对和进行表示是种针对每部分的式子进行放缩等），而每种途径来了书又有多种变化可见，代数变形是解关键，需悪仔细洗取例设幻为定义在非负实数上的函数，归纳

4、与递推，且对任意的有伊设⑷为从到的函数’⑴对⑷的表达式，且对任意的，乂丨，丨，有解用数学归纳法证明：对任意正整数，当①时，有⑷求函錄的值域丁一些具体数值解▲计算…的，见表当□时在条件式，中取分，，得表一二—…丨丨故幻，，即幻在上成立“二进若将与分别用制和三进制表示，士重新填写表格，得到表假设时命题成立表则当《“时，取：、使得？左此时’猜测对任意数有由归纳假设知4中等数学_代入巳知条件得丨矣幻当时，类似前面的讨论知故“时，命题成立注意到；，当取遍所有的正整数时厂瓦同理当■时及或，取遍一切非负实数〒，±

5、±由数学归纳法得幻综上七的所有可能值为、【注】此题在实数情形下运用数学归纳法，可【注】条件中的五个方程具有明显的循环特一种变通视作数学归纳法的：与证明关于正整数征从整体考虑联想到引入辅助量，可，七“”的命题不同，因为正实数集是不可列的，所以，巧七，将原先的五元方程组问题转化为势必对无穷多个起点作验证本题的处理方式是考虑、可能取？的两根各多少次”的问题将区间，拆成可列个区间，通过‘例巳知数列、彳丨满足对初始区间的讨论统一完成无穷个起点的验证过、，“步长”程再设置为进行证明整体考虑例若实数、、满足方程组

6、《工巧％，俄罗斯数学奥林匹克（，）一，证明由已知得‘，，°，￥求巧的所有可能的值进描：地主玄曰古、推关系、根据、有曰本数学赫匹克画，：二解设故—、由已知得、、、均满足方程（免则、±±这表明：，士为不变量工文、丄±±±；———一—从而，十，即故【注】具体问题中的数量关系可能错综复杂，解题的关键是从中找出具有不变规律的某种带有一一进步丨丨丨，由別只整体特征的结构对于本题有，知定经验的解题者±±的计算如能注意到取倒数并作差后所出现的裂2014年第期项结构特“”征，便能发现士为不变量及满足的正实数…，，，⑷

7、局部入手总有如■例证明对任翻，有（，中国国家集训队测试）解当正数……、不全相等时，，，，！——””和§士‘士‘‘‘一证明对，，进，行放缩得是显然的故满足条件的又必为正数以下设丄广丄下面的证明需用到结论：数列严一格单调递增，且收敛到先证明又时，不等式总成立仃，“不妨设。、于是，莓丨名丨奚名—【注】本题从局部人手’对每项灯①士…一，，，进行恰当放缩使得产生可约分的结由算术几何均值不等式并注意到构在证明轮换不等式或数列不等式时，常常采用这种局部策略，本题也可用数学归纳法证明■典型的策略丄有““是加强命题左

8、的推导基于一士，使从个更强的归纳假设例如，将要证的不等式加强到‘保持“不变，让靠近’则“為这种证法在本质上和原证法完全相同变大，式①不减有趣的是…，尽管注意到忘，、―丨“”用磨光法，将。、、分别调整成、随着而单调递减，但用不加强命题的归！、，式①不减纳策略同样可以证得，证明如下继续做有限次如上的调整，可将每个注意到，，，调整成，式不减￥故又全士结屯—屯另一方面对任意正数义且足丄针丄，，取、丄丄、故°“丨出够大，使占）其中，的存在性依赖于碰指出的结论因此，由士，易得，士