用算法思想培养数学思维.doc

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1、用算法思想培养数学思维在平常的教学过程中，总能听到学生反映：上课听老师讲的也能懂，当时做题也会，但稍微变换一下就没有思路了，或者，在写解答过程的时候，乱七八糟，颠三倒四，这反映了思绪的混乱，条理的不清晰，这种情况，归根结底，是数学思维的欠缺，而数学思维的欠缺，对于学习数学，是一个致命的弱点。那么，如何培养数学思维呢？我们在必修3中接触到了算法,了解到算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤。因而，可以尝试，用算法的思想来培养学生的数学思维。经过实践，我发现，算法思想对形成数学思维非常有帮助。在碰到一个问题的

2、时候，可以去想，我第一步应该干什么第二步应该干什么，并且做到每一步的有理有据。这样通过有限的步骤，每一步得出的明确的结论，逐步过渡到最后的结论，长此以往，就能形成很好的数学思维，这样对于分类讨论的问题，也非常有帮助。比如，在讲用正弦定理判断三角形的解的个数问题的时候，以前无论讲的多么细，推导过程多么详尽，学生总是不容易分清，但是，这一次,我用了算法的思想,跟学生共同写了一个解决此类问题的算法，效果就大不相同了。具体过程如下:在AABC中，已知边60°，判断这样的三角形有几个解。我们先写出一个解决这道题的算法:S1：作出已知的角。

3、S2：在角的一边上作出已知边。（这样可以确定三角形的第二个顶点，并保证未知的边在水平射线上。）S3：以第二个顶点为圆心，已知角的对边为半径作圆弧,看与已知角的水平边相交的交点的个数。S4：由第三步得出结论。（有几个交点，相应的三角形就有几个解）有了这个算法之后，我们的思路就非常清晰，我们按这个算法来解这道题：就会很容易确定，满足条件的三角形有两个。如果按照写出的这个算法去思考问题，就能使我们的思维非常的清晰，写解答过程的时候也会非常有条理，包括碰到分类讨论的问题的时候，我们总是按写出来的算法来思考问题，那么，在什么地方碰到了什么

4、问题，应该如何去处理,很自然地能得出讨论的情况。举例说明：（2009年安徽）已知函数讨论的单调性。我们先写出一个解决求函数单调性的算法:S1：求函数的定义域。S2：求函数的导数。S3：通过研究函数在定义域上的符号，确定函数在不同区间上的单调性。下面我们根据这个算法来解题:分析：S1：的定义域为S2：S3：因为的定义域为，所以的符号由其分子决定。这实际上是一个二次函数的问题，我们在解决二次函数的问题，特别是含有参数的二次函数的问题的时候，用算法的思想去思考，思路尤其的清晰。设，下面我们再写岀一个判定二次函数在给定区间上的符号的算法

5、:S1：结合定义域画出函数的图象。S2：根据S1写出函数的符号的不同的情况。如果我们根据写出的这个算法操作的话，就碰到了这样一个问题：函数值的符号和自变量的取值有关，符号以零点为界，而零点问题又可以转化为方程的解的问题来看到，方程在给定区间上的解的情况由判别式决定，所以，讨论的标准自然而然地就出现了。一旦确定了讨论的标准，分类讨论的问题也会变得很容易。我们来进行讨论：（分类标准：函数在上的解的个数）%1当即时，对一切都有。%1当即时，仅对有，对其余的都有。%1当即时，方程有两个不同的实根由此，通过算法的思想，我们分析清楚了整个解

6、题思维,再写过程的时候按照这个程序支进行，整个解答过程就很有条理•解答过程如下：解：的定义域为设，%1当即时，对一切都有即，此时是上的单调增函数。%1当即时，仅对有即，对其余的都有即。%1当即时，方程即有两个不同的实根此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。再看2010年辽宁高考21题的第一问：已知函数，讨论函数的单调性。按照我们上面的算法来分析:S1：的定义域为S2：oS3：我们要研究的符号，也就是其分子的符号，而分子是一个含有参数的函数，这个时候用上面写的解决函数符号的算法来进行，就能发现在画图的时候有点问题了，因为二

7、次项系数含参，所以没法确定图象的形状态，那么我们就要讨论此参数能否为零的问题，自然出现了思维的分化，分子是一次函数还是二次函数的问题，而我们在解决一次函数还是二次函数的符号问题时，解决问题就有针对性。这是很多同学容易忽略的地方，也是容易出现思维混乱的地方，有了这个算法之后，再思考，就不容易出现遗漏，对于我们思维的缜密性也是一种很好的培养。因为当二次项系数为0也就是时整个式子已知，因而很简单，那么主要的问题就在时对分子在上的零点的讨论的问题了，我们可用上题写出的第二个算法来进行分析：令S1：画出的图象。此时问题出现了，我们知道，在

8、时是一个二次函数，而二次函数的图象是抛物线，解决函数单调性问题画抛物线的时候要根据抛物线的开口方向，结合函数的零点以及定义域来画图，那么，这条抛物线的开口方向是什么样的，直接对最后的结果产生了影响，因而，在这个地方也会出现讨论的情况：我们要把的符号考虑进去。在此