计算方法-刘师少版第二章课后习题完整答案

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1、第二章一元非线性方程数值解法习题及解答31−32.1用二分法求方程x−x−1=0在[1,2]的近似根，要求误差不超过×10至少要二2分多少？－3解：给定误差限ε＝0.5×10，使用二分法时，误差限为*11x−x≤(b−a)只要取k满足(b−a)<ε即可，亦即kk+1k+122lg(b−a)−lgε−lg0.5+3lg10k≥−1=−1=9.96678lg2lg2只要取n＝10.32−22.2用二分法求方程x+x−3x−3=0在[1,2]的近似根，准确到10。lg(b−a)−lgε−lg0.5+2lg10解：∵k≥−1=−1=6.64lg2lg2所以

2、要二分7次即可满足精度要求这里a=1,b=2,f(1)<0,f(2)>0,所以[1,2]是有根区间。又2[]f′(x)=3x+2x−3>0,x∈1,2，所以方程f(x)=0在[1,2]仅有一根。1+2计算x==1.5，f(1.5)=1.875<0有根区间[1.5,2]021.5+2x==1.75，f(1.75)=0.1719>0有根区间[1.5,1.75]121.5+1.75x==1.625f(1.625)=-0.938<0有根区间[1.625,1.75]22……x=1.7265672.3证明方程1-x–sinx＝0在区间[0,1]内有一个根，使用

3、二分法求误差不超过-40.5×10的根要二分多少次？证明令f(x)＝1－x－sinx，∵f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0∴f(x)=1－x－sinx=0在[0，1]有根.又f′(x)=-1－cosx<0(x∈[0.1]),故f(x)在[0，1]单调减少，所以f(x)在区间[0，1]内有唯一实根.－4给定误差限ε＝0.5×10，使用二分法时，误差限为7*11x−x≤(b−a)只要取k满足(b−a)<ε即可，亦即kk+1k+122lg(b−a)−lgε−lg0.5+4lg10k≥−1=−1=13.2877lg2lg2只要取n＝14.322.4

4、方程x−x−1=0在x=1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式：113232（1）x=1+2，迭代公式xk+1=1+2（2）x=1+x，迭代公式xk+1=1+xkxxk2113（3）x=，迭代公式x=（4）x=x−1，迭代公式k+1x−1x−1k3x=x−1k+1k试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。12解：（1）令f(x)=1+，则f′(x)=−，由于23xx21f′(x)=≤≈0.59<1，因而迭代收敛。33x1.5222x2−（2）令f(x)=31+x，则f′(x)=(1

5、+x)3，由于32×1.5f′(x)=≈0.34<133(1+1.52)2迭代收敛，且第二种迭代格式比第一种迭代格式收敛速度要快。11（3）令f(x)=，则f′(x)=−，由于x−12(x−1)31f′(x)=−>132(1.5−1)迭代发散。1−（4）令f(x)=x3−1，则f′(x)=x2(x3−1)2，由于22x1.5f′(x)==>133x−11.5−1迭代发散。具体计算时选第二种迭代格式，8x=31+x2n=0,1,…k+1k计算结果如下：x=1.5,x=1.481248,x=1.4727057012x=1.4688173,x=1.467

6、0480,x=1.466243345x=1.4658768x=1.4657102,x=1.4656344678x=1.465600091−4x−x≤×10,x=1.4656000989222.5对于迭代函数ϕ(x)=x+C(x−2)，试讨论：（1）当C取何值时，x=ϕ(x),(k=0,1,2,L)产生的序列{x}收敛于2；k+1kk（2）C取何值时收敛速度最快？2解：（1）ϕ(x)=x+C(x−2)，ϕ′(x)=1+2Cx，由已知条件知，当ϕ′(2)=1+2C2<1，即1−

7、快。即1ϕ′(2)=1+2C2=0，所以C=−时收敛最快。222.6给定函数f(x)，设对一切x，f′(x)存在且0

8、<1，所以x=ϕ(x)=x−λf(x)收敛于f(x)=0的根。k+1kkk2.7试用牛顿迭代法导出下列各式的迭代格式：11