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1、计算方法-刘师少版课后习题答案1.1设3.14,3.1415,3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数1解近似值x=3.14＝0.314×10,即m=1，它的绝对误差是－0.0015926…，有k?lg(b?a)?lg??lg0.5?3lg10?1??1?9.96678lg2lg2x?x??0.0015926??0.5?101?3.即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位.又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有x?x???.??????????.?
2、??????即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有只要取n＝10.2.3证明方程1-x–sinx＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过-40.5×10的根要二分多少次？证明令f(x)＝1－x－sinx，∵f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0∴f(x)=1－x－sinx=0在[0，1]有根.又f?(x)=-1－cosx<0(x?[0.1]),故f(x)在[0，1]单调减少，所以f(x)在区间[0，1]内有
3、唯一实根.－4，使用二分法时，误差限为x?x???.??????????.???????即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字.这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字1.2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.0004－0.0020090009000.00解（1）∵2.0004＝0.20004×101,m=1绝对误差限：x?x??x?0.20004?0.000049?0.5?10?4m-n=-4,m=1则n=5,故x=2.0004有5位有效数字x1=
4、2，相对误差限?1(n?1)r?2?x?10??1?2?101?5?0.00002512（2）∵－0.00200=-0.2×10-2,m=-2x?x??x?(?0.00200)?0.0000049?0.5?10?5m-n=-5,m=-2则n=3,故x=-0.00200有3位有效数字x1=2，相对误差限?r?1?101?32?2=0.0025(3)∵9000=0.9000×104,m=4，x?x??x?9000?0.49?0.5?100m-n=0,m=4则n=4,故x=9000有4位有效数字?1r??9?101?42＝
5、0.000056(4)∵9000.00=0.900000×104,m=4，x?x??x?9000.00?0.0049?0.5?10?2m-n=-2,m=4则n=6,故x=9000.00有6位有效数字相对误差限为?r?12?9?101?6＝0.00000056由(3)与(4)可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.1.3ln2=0.69314718…，精确到10?3的近似值是多少？解精确到10?3＝0.001，即绝对误差限是?＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以.ln2?0.6932.1用二
6、分法求方程x3?x?1?0在?1,2?的近似根，要求误差不超过12?10?3至少要二分多少？解：给定误差限?＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为x*?xk?12k?1(b?a)只要取k满足1(b?a)??即可，亦即2k?1给定误差限?＝0.5×10x*?x1k?2(b?a)只要取k1k?1满足2k?1(b?a)??即可，亦即k?lg(b?a)?lg?lg2?1??lg0.5?4lg10lg2?1?13.2877只要取n＝14.2.4方程x3?x2?1?0在x=1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立
7、相应的迭代公式：（1）x?1?11（2）x2，迭代公式xk?1?1?x2x3?1?x2，k迭代公式x2k?1??xk（3）x2?1x?1，迭代公式x1k?1?x（4）x?x3?1，k?1迭代公式xk?1?x3k?1试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。解：（1）令f(x)?1?1x2，则f?(x)??2x3，由于f?(x)?21x3?1.53?0.59?1，因而迭代收敛。（2）令f(x)??x2，则f?(x)?2x(1?x2)?233，由于f?(x)?2?1.5(1?1.52
8、)2?0.34?1迭代收敛，且第二种迭代格式比第一种迭代格式收敛速度要快。（3）令f(x)?1x?1，则f?(x)??1，由于2(x?1)3f?(x)??12(1.5?1)3?1迭代发散。（4）令f(x)?x31?1，则f?(x)?x2(x3?1)?2，由于22f?(x)?xx3?1?1.5.53?1?1迭代发散。具体计算时选第二种迭代格式，x
