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1、1.1设3.14,3.1415,3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数解近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.0015926…，有.即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位.又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字.这就是说某数有s位数，若末位数字是
2、四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字1.2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.0004－0.0020090009000.00解（1）∵2.0004＝0.20004×101,m=1绝对误差限：m-n=-4,m=1则n=5,故x=2.0004有5位有效数字=2，相对误差限（2）∵－0.00200=-0.2×10-2,m=-2m-n=-5,m=-2则n=3,故x=-0.00200有3位有效数字=2，相对误差限=0.0025(3)∵9000=0.9000×104,m=4，m-n=0,m=4
3、则n=4,故x=9000有4位有效数字＝0.000056(4)∵9000.00=0.900000×104,m=4，m-n=-2,m=4则n=6,故x=9000.00有6位有效数字相对误差限为＝0.00000056由(3)与(4)可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.1.3ln2=0.69314718…，精确到的近似值是多少？解精确到＝0.001，即绝对误差限是e＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以.ln2»0.6932.1用二分法求方程在[1,2]的近似根，要求误差不超过至少要二
4、分多少？解：给定误差限e＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为只要取k满足即可，亦即只要取n＝10.2.3证明方程1-x–sinx＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10-4的根要二分多少次？证明令f(x)＝1－x－sinx，∵f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0∴f(x)=1－x－sinx=0在[0，1]有根.又f¢(x)=-1－cosx<0(xÎ[0.1]),故f(x)在[0，1]单调减少，所以f(x)在区间[0，1]内有唯一实根.给定误差限e＝0.5×10－4，使用二
5、分法时，误差限为只要取k满足即可，亦即只要取n＝14.2.4方程在x=1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式：（1），迭代公式（2），迭代公式（3），迭代公式（4），迭代公式试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。解：（1）令，则，由于，因而迭代收敛。（2）令，则，由于迭代收敛，且第二种迭代格式比第一种迭代格式收敛速度要快。（3）令，则，由于迭代发散。（4）令，则，由于迭代发散。具体计算时选第二种迭代格式，n=0,1,…计算结果如下：2.5对
6、于迭代函数，试讨论：（1）当C取何值时，产生的序列收敛于；（2）C取何值时收敛速度最快？解：（1），，由已知条件知，当，即时，迭代收敛。（2）当时迭代至少是二阶收敛的，收敛最快。即，所以时收敛最快。2.7试用牛顿迭代法导出下列各式的迭代格式：(1)不使用除法运算；(2)不使用开方和除法运算.解：（1）令，取，则迭代格式为注：若令，取，则，显然迭代格式不法不符合题意。（2）令，取，则迭代格式2.10设。（1）写出解的Newton迭代格式。（2）证明此迭代格式是线性收敛的。解：因，故，由Newton迭代公式：得以
7、下证明此格式是线性收敛的因迭代函数而又则故此迭代格式是线性收敛的。第三章解线性方程组的直接方法习题及解答（考试时二元）3.2用列主元素消去法解线性方程组解：第一步列选主元10，将第一和第二行交换，再消去，得第二步列选主元，将第二和第三行交换，再消去，得回代求解得3.3用高斯-约当法求逆矩阵列选主解：消元列选主消元消元则3.4用矩阵的直接三角分解解方程组解设系数矩阵A的杜利特尔分解为A=LU，即将右端两矩阵相乘后比较两端，可得再求解方程组LY=b,UX=Y,即：先由前一个方程组求得，代入后一个方程组，求得原方程
8、的解为3.7证明对任意非奇异矩阵A、B有证：等式成立3.8证明对任意非奇异矩阵A有证：因为所以3.9设A、B∈为非奇异矩阵，证明（1）Cond(A)≥1，Cond(A)=Cond(A-1)；（2）Cond()=Cond(A)，；（3）Cond(AB)≤Cond(A)Cond(B)。证：(1)(2)(3)3.10设线性方程组为（1）试求系数矩阵A的条件数；（2）若右端向量有扰动，试估计解的相对误差。解
