数值分析31二分法迭代法及收敛性.ppt

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1、3.1.1引言本章主要讨论单变量非线性方程f(x)=0(1.1)的求根问题，这里x∈R,f(x)∈C[a,b].在科学与工程计算中有大量方程求根问题，其中一类特殊的问题是多项式方程其中系数ai(i=0,1,,n)为实数.3.1方程求根与二分法n=1,2时方程的根是大家熟悉的，n=3,4时虽有求根公式但比较复杂，可在数学手册中查到，但已不适合数值计算，而n≥5时就不能用公式表示方程的根.因此，通常对n≥3的多项式方程求根与一般连续函数方程(1.1)一样都可采用迭代法求根.方程f(x)=0的根x*，又称为函数f(x)的零点，它使得f(x*)=0，若f(x)可分解为f(x

2、)=(x-x*)mg(x)，其中m为正整数，且g(x*)≠0.当m=1时，则称x*为单根，若m>1称x*为(1.1)的m重根，或x*为函数f(x)的m重零点.若x*是f(x)的m重零点，则注：3.1.2二分法如果f(x)在区间[a,b]上连续,f(a)·f(b)<0,则在[a,b]内有方程的根.（BisectionMethod）二分法原理二分法的实施过程取[a,b]的中点将区间一分为二.若f(x0)=0,则x0就是方程的根,否则判别根x*在x0的左侧还是右侧.若f(a)·f(x0)<0,则x*∈(a,x0),令a1=a,b1=x0;若f(x0)·f(b)<0,则x*∈

3、(x0,b),令a1=x0,b1=b.不论出现哪种情况,(a1,b1)均为新的有根区间,它的长度只有原有根区间长度的一半,达到了压缩有根区间的目的.如此反复进行,即可的一系列有根区间套由于每一区间都是前一区间的一半，因此区间[an,bn]的长度为若每次二分时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限进行下去.当n→∞时，区间必将最终收缩为一点x*，显然x*就是所求的根.若取区间[an,bn]的中点作为x*的近似值，则有下述误差估计式只要n足够大,(即区间二分次数足够多)，误差就可足够小.二分法的误差估计例1用二分法求方程f(x)=x3-x-1=0在(1,1.5)的实根,要

4、求误差不超过0.005.解由题设条件，即：则要

5、x*-xn

6、≤0.005由此解得取n=6,按二分法计算过程见下表,x6=1.3242为所求之近似根.nanbnxnf(xn)说明01234561.01.251.251.31251.31251.31251.32031.51.51.3751.3751.34381.32811.32811.251.3751.31251.34381.32811.32031.3242-+-++--(1)f(a)<0,f(b)>0(2)根据精度要求，取到小数点后四位即可.二分法的优点是算法简单，且总是收敛的，缺点是收敛的太慢，故一般不单独将其用于求根

7、，只是用其为根求得一个较好的近似值.二分法的计算步骤:步骤1准备计算函数f(x)在区间[a,b]端点处的值f(a),f(b).若f(a)·f((a+b)/2)<0,则以(a+b)/2代替b，否则以(a+b)/2代替a.步骤2二分计算函数f(x)在区间中点(a+b)/2处的值f((a+b)/2).步骤3判断若f((a+b)/2)=0，则(a+b)/2即是根，计算过程结束，否则检验.反复执行步骤2和步骤3，直到区间[a,b]长度小于允许误差ε，此时中点(a+b)/2即为所求近似根.3.2迭代法及其收敛性3.2.1不动点迭代法将方程f(x)=0改写为等价方程形式x=(x)

8、.(2.1)若要求x*满足f(x*)=0，则x*=(x*)；反之亦然，称x*为函数(x)的一个不动点.求f(x)的零点就等于求(x)的不动点，选择一个初始近似值x0，将它代入(2.1)右端，即可求得x1=(x0).可以如此反复迭代计算xk+1=(xk)(k=0,1,2,).(2.2)(x)称为迭代函数.如果对任何x0∈[a,b]，由(2.2)得到的序列{xk}有极限则称迭代方程(2.2)收敛.且x*=(x*)为(x)的不动点，故称(2.2)为不动点迭代法.当(x)连续时，显然x*就是方程x=(x)之根(不动点).于是可以从数列{xk}中求得满足精

9、度要求的近似根.这种求根方法称为不动点迭代法,称为迭代格式,(x)称为迭代函数,x0称为迭代初值,数列{xk}称为迭代序列.如果迭代序列收敛,则称迭代格式收敛,否则称为发散.分别按以上三种形式建立迭代公式，并取x0=1进行迭代计算，结果如下：解对方程进行如下三种变形：例2用迭代法求方程x4+2x2-x-3=0在区间[1,1.2]内的实根.准确根x*=1.124123029,可见迭代公式不同,收敛情况也不同.第二种公式比第一种公式收敛快得多,而第三种公式不收敛.xyoy=(x)y=x解x=(x)求y=x与y=(x)的交点的横坐标x*x0(x0,